Razmatraju se vrste kretanja čije trajektorije striktno leže ili u vertikalnoj ili horizontalnoj ravnini. Ovo je, naravno, neka vrsta shematizacije, ali sasvim prihvatljiva. Međutim, u opštem slučaju, putanja leta ne leži u jednoj ravni, već je prostorna. Takvi manevri uključuju borbeni zaokret, spiralu, kosu petlju, cijev, itd. Razmotrimo prvi od navedenih manevara.

Borbeni zaokret je manevar aviona u kojem se, istovremeno s promjenom smjera leta, vrši penjanje. Prostorna putanja takvog manevra je kao kombinacija zaokreta i brda (slika 7.10). Pri proračunu borbenog okreta, uticaj bočne sile Za i preopterećenja nza je mali,

Rice. 7.11. Tipičan program za promjenu roll ua i preopterećenja pua tokom borbenog okreta

a manevar se može smatrati koordinisanim, p « 0, nza « 0, ako se NUBS organi ne koriste.

< Расчет боевого разворота ведется численным интегрированием уравнений (7.10) … (7.14).

Da bi se izračunala putanja borbenog zaokreta, pored podešavanja režima rada motora (obično se pretpostavlja maksimalni režim), potrebno je imati još dve kontrolne funkcije, za koje je zgodno uzeti nv o (W) i y a (V).

Tipičan tip promjene u rolni i preopterećenju prikazan je na Sl. 7.11. Izbor vrijednosti parametara u parametrima ua t»x i puah ovisi o dodijeljenom zadatku borbenog okreta. Iz jednačina kretanja jasno je da što je preopterećenje manje, to je manja ugaona brzina rotacije i duže je potrebno vrijeme da se završi borbeni zaokret. Povećanje kotrljanja pri datom preopterećenju dovodi do smanjenja visine za penjanje. U ekstremnom slučaju, možete pokupiti tako veliku rolu da se borbeni zaokret pretvori u okret. Pri vrlo malim uglovima kotrljanja, putanja će se približiti putanji tobogana.

Ako borbeni zaokret zahtijeva minimalno vrijeme manevara bez postavljanja uvjeta za maksimalnu visinu uspona, tada jednačina (7.11) pokazuje da se povećanjem preopterećenja i kuta prevrtanja povećava ugaona brzina okretanja putanje. Sa ove tačke gledišta, uobičajeni zakon promjene ovih parametara, prikazan u
pirinač. 7.11, je neisplativo, jer c. Na kraju manevra, proizvod pua sin ua ispada da je mali i skretanje kasni. Možete smanjiti vrijeme borbenog okreta primjenom zakona promjene prevrtanja prikazanog na Sl. 7.11 isprekidana linija. U ovom slučaju, do kraja zaokreta avion je gotovo u obrnutom položaju i moguće je održavati konstantno maksimalno preopterećenje do samog kraja manevra. Po analogiji sa okretom, takav borbeni zaokret može se nazvati prisilnim. Ako je svrha skretanja povećanje visine, onda treba pretpostaviti malo preopterećenje, a zakon promjene kotrljanja uzeti kao i obično.

Šeme nekih drugih prostornih manevara date su na sl. 7.12.

Mogućnosti izvođenja bilo kakvog manevra, kako ravnog tako i prostornog, ograničene su dostupnom vrijednošću normalnog preopterećenja Pua disp I MINIMALNOM EVOLUCIJSKOJ BRZINOM leta pri kojoj je manevar moguć (pua disp > 1, efikasnost kontrola se održava, ne dolazi do zastoja itd.).

Upravljivost se može povećati ako se za avione koji zahtijevaju visok nivo manevarske sposobnosti usvoji krilo sa profilom koji se može mijenjati prema modovima leta (brzina, napadni ugao). Dakle, skretanjem letvica i zakrilaca u letu pri dostizanju velikih napadnih uglova, možete značajno povećati površinu i sua dodatno, spriječiti zastoj i zastoj, te značajno smanjiti minimalno ograničenje brzine tokom manevra 114]. Takva kontrola konfiguracije krila tokom manevra mora se izvršiti automatski, jer je pažnja pilota preopterećena prilikom pilotiranja. Brzina pogona koji upravljaju elementima, ma-. Neuralna mehanizacija krila bi trebala biti dovoljna da fleksibilno promijeni njihov položaj tokom energičnih manevara. Međutim, ako se takav sistem može stvoriti, tada se upravljivost aviona pri malim brzinama značajno povećava.

Dalje čitanje, str. 104-114, P01, str. 278-294, , str. 339-390.

Kontrolna pitanja

1. Koji se manevar naziva koordinisanim?

2. Zašto postoji nedvosmislena veza između Pua i ua tokom koordiniranog manevra u horizontalnoj ravni?

3. Koje je ograničenje raspoložive vrijednosti pua pri niskim naznačenim brzinama leta? Na velikim?

4. Zašto minimalna brzina leta Utsh (Yaia req) raste sa povećanjem pua.1res?

5. Izvedite formulu za i? V. Pr pri pauT određen prema (7.9). Analizirajte RB odnos. gore sa visine.

6. Pokažite približnu prirodu promjene u preopterećenju pua pri izvođenju Nesterovljeve petlje, bure.

Prisustvo ravni materijalne simetrije u avionu omogućava da se njegovo prostorno kretanje podijeli na uzdužno i bočno. Uzdužno kretanje se odnosi na kretanje aviona u vertikalnoj ravni u odsustvu kotrljanja i klizanja, sa kormilom i eleronima u neutralnom položaju. U ovom slučaju se javljaju dva translacijska i jedno rotacijsko kretanje. Translaciono kretanje se vrši duž vektora brzine i duž normale, rotaciono kretanje se vrši oko ose Z. Uzdužno kretanje karakteriše napadni ugao α, ugao nagiba putanje θ, ugao nagiba, brzina leta, visina leta, kao i položaj elevatora i veličina i pravac u vertikalnoj ravni potiska DU.

Sistem jednačina za uzdužno kretanje aviona.

Zatvoreni sistem koji opisuje uzdužno kretanje aviona može se izolovati iz kompletnog sistema jednačina, pod uslovom da su parametri bočnog kretanja, kao i uglovi otklona komandi prevrtanja i skretanja jednaki 0.

Relacija α = ν – θ izvedena je iz prve geometrijske jednadžbe nakon njene transformacije.

Posljednja jednačina sistema 6.1 ne utiče na ostale i može se posebno rješavati. 6.1 – nelinearni sistem, jer sadrži produkte varijabli i trigonometrijskih funkcija, izraze za aerodinamičke sile.

Za dobijanje pojednostavljenog linearnog modela uzdužnog kretanja aviona potrebno je uvesti određene pretpostavke i provesti postupak linearizacije. Da bismo potkrijepili dodatne pretpostavke, potrebno je razmotriti dinamiku uzdužnog kretanja aviona sa stepenastim otklonom dizala.

Reakcija aviona na postepeni otklon lifta. Podjela uzdužnog kretanja na dugotrajna i kratkoročna.

Sa stepenastim odstupanjem δ in nastaje moment M z (δ in) koji se rotira u odnosu na osu Z brzinom ω z. U ovom slučaju se mijenjaju uglovi nagiba i napada. Kako se napadni ugao povećava, dolazi do povećanja uzgona i odgovarajućeg momenta uzdužne statičke stabilnosti M z (Δα), koji se suprotstavlja momentu M z (δ in). Nakon završetka rotacije, pod određenim uglom napada, kompenzuje se.

Promjena ugla napada nakon balansiranja momenata M z (Δα) i M z (δ in) prestaje, ali, jer avion ima određena inercijska svojstva, tj. ima moment inercije I z u odnosu na osu OZ, tada je uspostavljanje napadnog ugla oscilatorne prirode.

Ugaone oscilacije aviona oko OZ ose će biti prigušene korišćenjem prirodnog aerodinamičkog momenta prigušenja M z (ω z). Povećanje uzgona počinje mijenjati smjer vektora brzine. Ugao nagiba putanje θ se također mijenja.Ovo zauzvrat utiče na napadni ugao.Na osnovu ravnoteže momentnih opterećenja, ugao nagiba nastavlja da se mijenja sinhrono sa promjenom ugla nagiba trajektorije. U ovom slučaju napadni ugao je konstantan. Ugaona kretanja u kratkom intervalu se dešavaju sa velikom frekvencijom, tj. imaju kratak period i nazivaju se kratkoperiodični.

Nakon što kratkotrajne fluktuacije utihnu, postaje primjetna promjena brzine leta. Uglavnom zbog Gsinθ komponente. Promjena brzine ΔV utječe na povećanje sile dizanja, a kao posljedica i na ugao nagiba putanje. Ovo posljednje mijenja brzinu leta. U ovom slučaju se javljaju oscilacije vektora brzine po veličini i smjeru.

Ovi pokreti se odlikuju niskom frekvencijom i polako nestaju, zbog čega se zovu dugoperiodični.

Prilikom razmatranja dinamike uzdužnog gibanja nismo uzeli u obzir dodatnu silu podizanja koju stvara otklon dizala. Ovaj napor je usmjeren na smanjenje ukupne sile podizanja, stoga se za teške zrakoplove uočava fenomen slijeganja - kvalitativno odstupanje kuta nagiba putanje uz istovremeno povećanje kuta nagiba. Ovo se događa sve dok povećanje podizanja ne kompenzira komponentu podizanja zbog otklona dizala.

U praksi se ne javljaju dugoperiodične oscilacije, jer se pravovremeno gase od strane pilota ili automatskih komandi.

Prijenosne funkcije i strukturni dijagrami matematičkog modela uzdužnog kretanja.

Prijenosna funkcija je slika izlazne vrijednosti, zasnovana na slici ulaza pri nultim početnim uvjetima.

Karakteristika prijenosnih funkcija zrakoplova kao kontrolnog objekta je da se odnos izlazne veličine u odnosu na ulaznu veličinu uzima sa negativnim predznakom. To je zbog činjenice da je u aerodinamici uobičajeno da se odstupanja koja stvaraju negativna povećanja parametara kretanja zrakoplova smatraju pozitivnim odstupanjima komandi.

U obliku operatora, zapis izgleda ovako:

Sistem 6.10, koji opisuje kratkoročno kretanje aviona, odgovara sledećim rešenjima:

(6.11)

(6.12)

Dakle, možemo napisati funkcije prijenosa koje povezuju napadni ugao i kutnu brzinu u nagibu sa otklonom dizala

(6.13)

Da bi funkcije prijenosa imale standardni oblik, uvodimo sljedeću notaciju:

, , , , ,

Uzimajući u obzir ove odnose, prepisujemo 6.13:

(6.14)

Dakle, funkcije prijenosa za ugao nagiba putanje i kut nagiba, ovisno o otklonu dizala, imat će sljedeći oblik:

(6.17)

Jedan od najvažnijih parametara koji karakteriziraju uzdužno kretanje zrakoplova je normalno preopterećenje. Preopterećenje može biti: normalno (duž OU ose), uzdužno (duž ose OX) i bočno (duž OZ ose). Izračunava se kao zbir sila koje djeluju na zrakoplov u određenom smjeru, podijeljen sa silom gravitacije. Projekcije na osi omogućavaju da se izračuna veličina i njen odnos sa g.

- normalno preopterećenje

Iz prve jednadžbe sila sistema 6.3 dobijamo:

Koristeći izraze za preopterećenje, prepisujemo:

Za horizontalne uslove leta ( :

Zapišimo blok dijagram koji odgovara prijenosnoj funkciji:

-δ u M ω z ν ν α - θ θ

Bočna sila Z a (δ n) stvara moment kotrljanja M x (δ n). Odnos momenata M x (δ n) i M x (β) karakteriše prednju i reverznu reakciju aviona na otklon kormila. Ako je M x (δ n) veće veličine od M x (β), letjelica će se nagnuti u suprotnom smjeru od skretanja.

Uzimajući u obzir gore navedeno, možemo konstruisati blok dijagram za analizu bočnog kretanja aviona kada je kormilo otklonjeno.

-δ n M y ω y ψ ψ
β β F z Ψ 1 Mx
ω y ω x

U takozvanom režimu ravnog okretanja momenti kotrljanja se kompenzuju od strane pilota ili odgovarajućeg upravljačkog sistema. Treba napomenuti da se pri malom bočnom kretanju ravnina kotrlja, a uz to se i sila podizanja naginje, što uzrokuje bočnu projekciju Y a sinγ, koja počinje razvijati veliko bočno pomicanje: ravnina počinje kliziti na nagnutu polu- krilo, a odgovarajuće aerodinamičke sile i momenti rastu, a to znači da takozvani „spiralni momenti“ počinju da igraju ulogu: M y (ω x) i M y (ω z). Preporučljivo je uzeti u obzir veliko bočno kretanje kada je avion već nagnut, ili koristeći primjer dinamike aviona kada su eleroni odbijeni.

Reakcija aviona na otklon krilaca.

Kada se eleroni otklone, nastupa trenutak M x (δ e). Ravan počinje da se okreće oko pridružene ose OX i pojavljuje se ugao kotrljanja γ. Moment prigušenja M x (ω x) suprotstavlja rotaciji aviona. Prilikom naginjanja aviona, zbog promjene ugla prevrtanja, nastaje bočna sila Z g (Ya), koja je rezultat sile težine i sile podizanja Y a. Ova sila „odmotava“ vektor brzine, a ugao staze Ψ 1 počinje da se menja, što dovodi do pojave kliznog ugla β i odgovarajuće sile Z a (β), kao i momenta statičke stabilnosti staze M y (β), koji počinje razvijati uzdužnu os aviona ugaonom brzinom ω y. Kao rezultat ovog kretanja, kut skretanja ψ počinje se mijenjati. Bočna sila Z a (β) usmjerena je u suprotnom smjeru u odnosu na silu Z g (Ya), tako da u određenoj mjeri smanjuje brzinu promjene ugla putanje Ψ 1.

Sila Z a (β) je također uzrok momenta poprečne statičke stabilnosti. M x (β), koji zauzvrat pokušava da izvede ravan iz kotrljanja, a ugaona brzina ω y i odgovarajući spiralni aerodinamički moment M x (ω y) pokušavaju da povećaju ugao kotrljanja. Ako je M x (ω y) veći od M x (β), dolazi do tzv. „spiralne nestabilnosti“ u kojoj ugao prevrtanja, nakon što se krila vrate u neutralni položaj, nastavlja da raste, što dovodi do toga da avion okretanje sa povećanjem ugaone brzine.

Takav zaokret se naziva koordinisanim okretom, a kut nagiba postavlja pilot ili pomoću automatskog upravljačkog sistema. U ovom slučaju, tokom skretanja, kompenzuju se remetilački momenti kotrljanja M x β i M x ωu, kormilo kompenzuje klizanje, odnosno β, Z a (β), M y (β) = 0, dok moment M y (β ), koji je okrenuo uzdužnu osu aviona, zamenjen je momentom sa kormila M y (δ n), i bočnom silom Z a (β), koja je sprečila promenu ugla putanje, se zamjenjuje silom Z a (δ n). U slučaju koordiniranog okretanja povećava se brzina (upravljivost), dok se uzdužna os aviona poklapa sa vektorom vazdušne brzine i okreće se sinhrono sa promjenom ugla Ψ 1.

Veličina: px

Počnite prikazivati ​​sa stranice:

Transkript

1 Elektronski časopis “Zbornik radova MAI”. Izdanje 78 UDK 57.95: Rješenje graničnog problema formiranja putanje aviona pri izvođenju prostornog manevra Tang Thanh Lam Moskovski institut za fiziku i tehnologiju ( Državni univerzitet) MIPT ul. Gagarina Žukovski Moskovska oblast 484 Rusija e-mal: Sažetak Razmatran je problem planiranja putanje aviona prilikom izvođenja prostornog manevra. Da bi se dobila putanja u skladu sa navedenim graničnim uslovima, koriste se dva pristupa zasnovana na konceptima inverznog problema dinamike i predstavljanja putanje u parametrizovanom obliku. U prvom slučaju razmatra se najjednostavnija parametrizacija koja osigurava samo ispunjenje graničnih uslova. U drugom slučaju, parametrizacija omogućava dodatnu optimizaciju nekog kriterijuma kvaliteta, koji odgovara nekoj implementaciji metode direktne varijacije. Za poređenje ova dva pristupa koriste se konkretni primjeri. Ključne riječi: prostorni manevar aviona, planiranje trajektorije, granični problem, inverzna dinamika, metoda direktne varijacije. Uvod Jedan od glavnih zadataka dinamike leta je da odredi putanju i kontrole koje obezbeđuju prelazak aviona sa date početne tačke na

2 datu krajnju tačku u prostoru. Ako se dodatno specificira kriterij kvalitete upravljanja, onda se problem može riješiti metodama teorije optimalnog upravljanja. Ali u svakom slučaju, formiranje putanje leta je u suštini granični zadatak. Do danas je razvijeno mnogo metoda za rješavanje problema ove vrste. Među njima su dobro poznate metode ciljanja konačnih razlika konačnih elemenata, metoda Galerkin-Ritz, metode redukcije na Fredholmove integralne jednadžbe itd. Među obećavajućim smjerovima koji su nedavno predloženi su metode rješenja zasnovane na parametrizaciji trajektorije i primjeni koncept inverznih problema dinamike. Parametarizacija putanje vam omogućava da problem svedete na pronalaženje traženih vrijednosti konačnog broja parametara, a koncept inverzne dinamike omogućuje jednostavno određivanje kontrola koje su potrebne za izvođenje kretanja duž tražene putanje. Ukoliko je dodatno potrebno optimizirati kvalitet upravljanja prema bilo kojem kriteriju, onda ovaj pristup odgovara jednoj od mogućih implementacija metode direktne varijacije. Glavna prednost ovog pravca je komparativna jednostavnost i efikasnost algoritama proračuna. U budućnosti, ovo će omogućiti generiranje putanja u realnom vremenu, što je atraktivno za aplikacije na brodu. Ovaj članak govori o dva karakteristična načina formiranja putanje na osnovu specificiranja u parametriziranom obliku. U prvoj metodi, koordinacija graničnih uslova se vrši odgovarajućim izborom koeficijenata [ 3 4 5] a u drugoj metodi - posebnim izborom

3 osnovne funkcije. Slobodni koeficijenti parametrizovanih zavisnosti u drugoj metodi određuju se na osnovu uslova optimalnosti datog kriterijuma kvaliteta i ograničenja na kontrole, što ovu metodu čini znatno fleksibilnijom. Međutim, izračunavanje putanje zahtijeva prilično veliku količinu proračuna. Na konkretnim primjerima, u članku se pokazuje da se prva metoda, uprkos atraktivnoj jednostavnosti, teško može koristiti za autonomno generiranje putanje aviona Jednačine kretanja i inverzni problem Kretanje centra mase aviona u svemiru opisuje se kao sljedeći sistem jednačina: V g na sn gn a cos γ cos Ψ gn a sn γ/ V cos V cos cos V sn V cos sn /V () n a cosα X mg a n a snα Y mg a () Ovdje su koordinate centar mase aviona u normalnom zemaljskom koordinatnom sistemu V brzina leta putanja ugao nagiba ugao kursa napadni ugao kotrljanja potisak motora X a aerodinamičko otpor Y a aerodinamičko podizanje m masa aviona g gravitaciono ubrzanje na - uzdužno preopterećenje na - poprečno 3

4 preopterećenje. Aerodinamičke sile X a i Y a zavise od brzine V i od gustine atmosfere na visini leta X a c V Y c V a gdje su c c () i c c () koeficijenti aerodinamičkog otpora i uzgona čija veličina zavisi na napadnom uglu (ugao između uzdužne ose aviona i vektora brzine leta). Za kretanje trajektorije opisano modelom (), kontrolne varijable su potisak motora (), napadni ugao () i ugao prevrtanja (). Međutim, u problemima formiranja trajektorije, preopterećenja n a i n a mogu se smatrati umjesto i kao varijabli. Atraktivnost ovog pristupa je zbog činjenice da su vrijednosti n a n a i direktno određene ovisnostima () () i () bez ikakvih dodatnih parametara i varijabli. Za primjenu metodologije inverznog problema potrebno je da se kontrolne sile mogu jednoznačno odrediti duž datih putanja. Sistem () to dozvoljava, što je lako provjeriti. Neka su date zavisnosti koordinata aviona od vremena () () i (). Direktno iz () slijedi: sn V cos sn cos (3) V. V Diferenciranjem ovih odnosa nalazimo V V cos Ψ Ψ V. (4) V V cos 4

5 Direktno iz () također je lako dobiti izraze za određivanje preopterećenja i kuta kotrljanja cos g g cos/ V n a V sn g n a V g cos g cos. (5) S druge strane, diferenciranjem poslednje tri jednačine sistema (), uzimajući u obzir prve tri jednačine ovog sistema, dobijamo sledeće relacije: n a g n n g cos n a a g sn n a a g cos sn n g cos sn cos n g cos cos a g cos sn sn n a a g sn sn g sn cos ( ) Ovaj rezultat nam omogućava da zapišemo: n n a a g sn cos sn g cos cos sn arcg g g cos sn cos cos sn g cos cos sn. sn (7) Formule (7) zajedno sa formulama (3) će odrediti kontrolne varijable na na i γ u obliku funkcija koordinata () () () i njihovih prvih i drugih izvoda u odnosu na vrijeme. Potisak motora i napadni ugao mogu se odrediti iz odnosa (). Dakle, sistem () se može koristiti za rješavanje inverznih dinamičkih problema. Treba napomenuti da do sada već postoji niz metoda za generisanje putanje zasnovane na konceptu inverznog problema dinamike. Ovaj članak razmatra dva najtipičnija pristupa: jednostavno planiranje putanje i formiranje trajektorije zasnovano na principu optimalnosti. 5

6. Jednostavno planiranje trajektorije Pretpostavlja se da je dato početno stanje = T i konačno stanje = T aviona, kao i početno i konačno vrijeme manevra. Mogu se specificirati i početni i konačni upravljački vektori u= T u = T. Potrebno je konstruirati putanju leta i upravljanje koja zadovoljava sve ove granične uslove. Kada razmatramo putanju () () (), fizičko vrijeme zamjenjujemo relativnim vremenom τ u skladu s formulom transformacije. (8) Ovdje je Δ = - tako da je τ = at = i τ = at =. Rezultat bi trebalo da budu zavisnosti ((τ)) = (τ) ((τ)) = (τ) ((τ)) = (τ). Procedura planiranja trajektorije uključuje specificiranje funkcija (τ) (τ) (τ) u obliku parametriziranih zavisnosti korištenjem osnovnih funkcija. Na primjer, polinomi oblika h w (9) mogu se uzeti kao (τ) (τ) (τ) gdje su h w konstantni koeficijenti i... bazne funkcije sa svojstvom linearne nezavisnosti. Da bi se pojednostavili proračuni, pretpostavlja se da je struktura osnovnih funkcija dovoljna

7 7 jednostavno zahtijeva samo da funkcije (τ) (τ) (τ) budu kontinuirane i barem dvaput diferencibilne. Konkretno, odnosi snaga u obliku su pogodni za upotrebu.Mogu se koristiti opcije sa trigonometrijskim funkcijama, kao i kombinacije snaga i harmonijskih funkcija, na primjer. cos sn Diferenciranjem zavisnosti (9) u odnosu na τ dobijamo izvode w h. w h Polinomi (τ) (τ) (τ) i njihovi derivati ​​moraju zadovoljiti date granične uslove: Na osnovu ovih relacija sastavit ćemo tri sistema jednačina:

8 8 w w w w w w h h h h h () U () poznate su vrijednosti Δ na na γ na na γ s s s s s s= =.. Vrijednosti veličina određene su jednadžbama (), a vrijednosti relacijama (). Sistem () predstavlja 3=8 jednačina za 3=8 nepoznatih koeficijenata (...) (h h...h) i (w w...w). Zadatak izračunavanja koeficijenata iz sistema () olakšava činjenica da je ovaj sistem podijeljen na 3 nezavisna podsistema. Dobivanje rješenja je jednostavno. Na primjer, za prvi podsistem koristi se vektorsko-matrična notacija T T B

9 A možemo napisati A = B i tako će tražena formula za izračunavanje koeficijenata imati oblik =A - B. Jer korišćene bazne funkcije imaju svojstvo linearne nezavisnosti, tada matrica A nije singularna, stoga inverzna matrica A postoji i postoji jedinstveno rešenje. Rješenja sistema () za preostale koeficijente (h h...h) i (w w...w) određuju se na sličan način. 3. Planiranje putanje primjenom metode direktne varijacije. U formulama (9) prethodnog odjeljka, ispunjenje graničnih uvjeta osigurano je posebnim izborom koeficijenata za date proizvoljne bazne funkcije. Međutim, problem graničnih vrijednosti može se riješiti na drugi način posebnim izborom baznih funkcija za proizvoljno zadane koeficijente. U ovom slučaju, prisutnost slobode u izboru koeficijenata omogućava vam da kombinirate proceduru planiranja putanje s optimizacijom bilo kojeg kriterija kvalitete i također uzmete u obzir ograničenja faznih i kontrolnih varijabli. Očigledno, takav pristup problemima dinamike leta prvi je predložio Taranenko u kontekstu optimizacije direktne kontrole 9

10 metodom varijacije. Taranenkova metoda uključuje zamjenu argumenta fizičkog vremena nekim generaliziranim argumentom τ u skladu s jednačinom gdje je λ nepoznata funkcija. Putanja je data relacijama d d (τ) = (τ) (τ) = (τ) (τ) = 3(τ) V(τ) = 4(τ). Ovdje funkcije (τ) = 4 moraju biti kontinuirane, jednovrijedne i diferencibilne u cijelom intervalu vrijednosti argumenta τ. Funkcije (τ) se traže kao kombinacija poznatih a priori specificiranih baznih funkcija: gdje je j j j = 4 j = n baznih funkcija j nepoznatih n j koeficijenata. Funkcije i j se biraju da zadovolje nehomogene i homogene granične uslove, respektivno: Na primjer, prema preporukama j. j

11 j j sn j ili j j. Lako je vidjeti da ovaj izbor baznih funkcija garantuje za (τ) zadovoljenje graničnih uslova za bilo koje vrijednosti parametara j. S druge strane, funkcije (τ) ovise o koeficijentima j i stoga se izborom ovih koeficijenata može utjecati na putanju, osiguravajući optimizaciju zadanog kriterija kvalitete i ispunjavanje ograničenja upravljanja bez brige o graničnim uvjetima. Transformirajmo sistem () u novi argument τ: V g na sn / g a Ψ gna snγ/ V cos V coscos / V sn/ V cossn / / n cosγ cos/ V () Postupajući na isti način kao što je opisano u odsjeku iz jednačina () nije teško dobiti sljedeće kinematičke odnose: V sn V g V cos V 3/ 3/ cos. Za kontrolne varijable dobijaju se sljedeće formule:

12 cos arcg g cos/ V n a V sn g n a V g cos. g cos Gore navedene formule pokazuju da su sve kontrolne i varijable stanja izražene kroz (τ) (τ) (τ) V(τ) i njihove derivate, ali za razliku od formula u odjeljku, ovdje je dodatno prisutna funkcija skaliranja. Izbor slobodnih koeficijenata j bit će podređen optimizaciji funkcionalne J p koja zavisi od cilja problema (ovdje je p vektor koeficijenata j). Dakle, formiranje optimalne putanje koja zadovoljava date granične uslove svodi se na problem nelinearnog programiranja: mn J (p) ili pc ma J (p) () pc gdje je C područje dozvoljenih vrijednosti parametara p osigurava ispunjenje potrebnih ograničenja na kontrole i varijable stanja. Date su preporuke o načinima rješavanja ovog problema. 4. Primjeri proračuna Opcije planiranja putanje o kojima se govorilo gore su testirane numeričkim proračunima za niz tipičnih manevara. Rezultati proračuna za dva primjera prikazani su u grafikonima na slici 4. Grafovi jednostavnog planiranja putanje (opcija) su prikazani isprekidanim linijama, a grafovi planiranja putanje primjenom metode direktne varijacije (opcija) sa optimizacijom prema kriteriju performansi sa punim linijama. U oba slučaja granični uslovi su isti.

13 Primjer (skretanje za 8 uz uspon) Granični uvjeti: - početak manevra = V = 35 m/s Θ = rad Ψ = rad = m = 5 m = m na = na = γ = rad. - kraj manevra = 4,5 s V = 35 m/s Θ = rad Ψ = π rad = m = 8 m = -7 m na = na = γ = rad. U proračunima opcije uzeta su u obzir ograničenja na kontrole i varijable stanja: 35 m/s V 8 m/s Θ -9 Ψ 7 -. N / A. -. na γ. 3

14 Slika. Putanja aviona (primjer). 4

15 Slika Ponašanje kontrolnih i stanja varijabli (primjer). U ovom primjeru, skretanje se događa s prilično velikim radijusom. Zakrivljenost putanje je mala, tako da su promjene u kontroli i varijablama stanja spore i glatke. Grafikoni pokazuju da se rezultati dvije opcije razlikuju, ali nisu preveliki. Možemo zaključiti da obje opcije pružaju praktična rješenja. Primer (skretanje za 8 sa povratkom na prvobitnu visinu) Granični uslovi: - početak manevra = 5

16 V = 35 m/s Θ = rad Ψ = rad = m = 5 m = m na = na = γ = rad. - kraj manevra =.5 s V = 35 m/s Θ = rad Ψ = π rad = m = 5 m = -8 m na = na = γ = rad. U proračunima opcije uzeta su u obzir ograničenja na varijable upravljanja i stanja: 35 m/s V 8 m/s Θ -9 Ψ 7 -. N / A. -. na γ. Rice. 3. Putanja aviona (primjer).

17 Fig. 4. Ponašanje varijabli kontrole i stanja (primjer). U ovom primjeru, opcija proizvodi putanju skretanja s vrlo malim radijusom. Zakrivljenost putanje je velika, pa su se promjene u varijablama upravljanja i stanja dešavale brže i oštrije nego u prvom primjeru. Rezultati opcija se uvelike razlikuju. Analiza ponašanja zavisnosti V() i na() za varijantu (slika 4) pokazuje da preopterećenje na ostaje na nivou ~ u uslovima veoma malih brzina V, što je potpuno nerealno za konvencionalni avion. Minimalna brzina dostiže ~7 m/s (u trećoj sekundi), što je znatno manje od brzine zastoja i neprihvatljivo je u uslovima sigurnosti leta. U blizini ove tačke, graf zavisnosti Ψ() (sl. 4) 7

18 pokazuje nagli porast ugla rotacije. Ali ovo je sasvim prirodno jer... u skladu sa kinematikom kretanja (vidi 3. jednačinu ()), situacija V u uslovima n vodi do prijema. a Dakle, u ovom primjeru, opcija je proizvela putanju koja je bila neprihvatljiva za korištenje. Rezultat je prilično predvidljiv jer Ova opcija ne uzima u obzir ograničenja važna za praktičnu implementaciju generirane putanje. Istovremeno, formalna provjera konzistentnosti rezultirajućeg rješenja između kontrolnih varijabli i varijabli stanja ne daje nikakve informacije o neprihvatljivosti rješenja. Na sl. (5) prikazani su grafovi ponašanja varijabli stanja za aproksimirajuće rješenje (9) i za rezultate numeričke integracije originalnog sistema jednačina gibanja () (Runge-Kutta metoda 4. reda) korištenjem kontrola izračunatih po formulama (7). ) za generiranu putanju. Grafikoni oba tipa se poklapaju, što ukazuje na konzistentnost aproksimacionog rješenja sa dinamikom sistema koji se razmatra. Samo ovaj jedan primjer pokazuje nedovoljnost jednostavnog planiranja putanje leta aviona bez uzimanja u obzir ograničenja vezanih za implementaciju ove putanje. Razmatrana metoda planiranja trajektorije sa optimizacijom (opcijom) u ovom primjeru generirala je potpuno ostvarivu putanju budući da ova metoda uzima u obzir potrebna ograničenja. Međutim, obim proračuna ovom metodom se ispostavlja veoma velikim jer dobijanje 8

19 rješenja zahtijevaju upotrebu iterativnih nelinearnih programskih procedura. Rice. 5. Provjera konzistentnosti (markeri o rješenje problema planiranja putanje; pune linije; rezultat integracije). Zaključak U članku se ispituju i na numeričkim primjerima analiziraju dvije metode planiranja putanje prostornog manevra aviona zasnovane na parametrizaciji putanje i primjeni koncepta inverznog problema dinamike. Iz datih primjera proračuna slijedi da je najjednostavniji metod 9

20 planiranje koje ne uzima u obzir ograničenja faznih varijabli i kontrola može dovesti do nerealnih rezultata. I uprkos svojoj atraktivnosti zbog svoje jednostavnosti, ova metoda je teško prihvatljiva za upotrebu na brodu (govorimo o konvencionalnim avionima). Da biste pouzdanije riješili problem generiranja putanje manevara, možete koristiti složenije metode koje vam omogućuju da uzmete u obzir barem najvažnija ograničenja. Metoda direktnog rješenja varijacionog problema koju je predložio Taranenko, o kojoj se govori u članku, u principu omogućava da se uzmu u obzir takva ograničenja i da se istovremeno izvrši optimizacija manevra prema bilo kojem zadanom kriteriju. Glavni nedostatak ove metode je velika količina proračuna uzrokovana potrebom da se izvrši nelinearna uvjetna optimizacija korištenjem iterativnih procedura. Treba napomenuti da ni veoma složena metoda generisanja putanje nije imuna na dobijanje neostvarivih rešenja, pa se dobijeni rezultati moraju analizirati i verificirati. Za ugrađene aplikacije ovo predstavlja izazov. Bibliografska lista. Taranenko V.T. Momdzhi V.G. Metoda direktne varijacije u graničnim problemima dinamike leta. - M.: Mašinstvo s.. Nelinearna dinamika i upravljanje: Zbornik članaka / Ed. S.V. Emelyanova S.K. Korovina. - M.: FIZMATLIT. - 4 s.

21 3. Velishchansky M.A. Sinteza kvazioptimalne putanje bespilotne letjelice aviona// Elektronski časopis “Nauka i obrazovanje” 3: hp://echnomag.bmsu.ru/doc/447.hml (datum izdanja.3). 4. Kanatnikov A.N. Konstrukcija putanja aviona s nemonotonom promjenom energije // Elektronski časopis “Nauka i obrazovanje” 3 4: hp://echnomag.bmsu.ru/doc/554.hml (datum objave 4.3). 5. Kanatnikov A.N. Krischenko A.P. Tkachev S.B. Prihvatljive prostorne putanje bespilotne letjelice u vertikalnoj ravni // Elektronski časopis “Nauka i obrazovanje” 3: hp://echnomag.bmsu.ru/doc/3774.hml (datum objave 3.).

Elektronski časopis "Zbornik radova MAI". Izdanje 46 www.mi.ru/science/rud/ UDK 69.7.87 Rješenje problema optimizacije upravljanja prostornim kretanjem lakih aviona na osnovu Pontrijaginovog minimalnog principa V.N. Baranov,

Kontrola visine leta helikoptera Razmotrimo problem sinteze sistema za kontrolu kretanja centra mase helikoptera po visini. Helikopter kao objekt automatskog upravljanja je sistem sa nekoliko

UDK 69.78 UPRAVLJANJE SVEMIRSKOM VOZILOM KOJI SE VRAĆA SA PODEŠIVIM CENTROM MASE V.A. Afanasjev, V.I. Kiselev Rešen je problem kontrole uzdužnog ugaonog kretanja letelice koja se vraća

Predavanje: Diferencijalne jednadžbe th reda.Osnovni tipovi diferencijalnih jednadžbi th reda i njihovo rješenje Diferencijalne jednadžbe su jedno od najčešćih sredstava matematičke

Tema 4. Jednačine kretanja aviona 1 Osnovni principi. Koordinatni sistemi 1.1 Položaj aviona Položaj vazduhoplova se odnosi na položaj njegovog centra mase O. Položaj centra mase vazduhoplova je prihvaćen

Uvod Prilikom projektovanja sistema stabilizacije i upravljanja za avione, važan korak je identifikacija dinamičkih svojstava aviona kao kontrolnog objekta.

MINIMIZACIJA KONVEKTIVNOG I RADIJATIVNOG TOPLOTNOG PROTOKA KADA VERZIJA ULAZI U ATMOSFERU V.V. Dikusar, N.N. Olenev računarski centar nazvan po. AA. Dorodnitsyn RAS, Moskva Princip maksimuma u optimalnom problemu

337 UDK 697:004:330 OPRAVDANOST PRISTUPA ODVOJENOM ODREĐIVANJU EFIKASNOG POTISKA MOTORA I AERODINAMIČKE SILE VLAKA PREMA PODACIMA LETNIH ISPITIVANJA NA Državnom naučnom istraživanju Korsun

Ritzova metoda Postoje dvije glavne vrste metoda za rješavanje varijacionih problema. Prvi tip uključuje metode koje svode originalni problem na rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Ove metode su veoma dobro razvijene

Ministarstvo obrazovanja Ruska Federacija Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "SAMARSKI DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET" Odsek "MEHANIKA" DINAMIKA

Predavanje 4. Rješavanje sistema linearnih jednačina metodom jednostavnih iteracija. Ako sistem ima veliku dimenziju (6 jednačina) ili je matrica sistema rijetka, indirektne iterativne metode su učinkovitije za rješavanje

OBIČNE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE PRVOG REDA Osnovni pojmovi Diferencijalna jednačina je jednačina u kojoj se nepoznata funkcija pojavljuje pod predznakom izvoda ili diferencijala.

DIFERENCIJALNE JEDNAČINE Opći koncepti Diferencijalne jednadžbe imaju brojne i raznolike primjene u mehanici, fizici, astronomiji, tehnologiji i drugim granama više matematike (npr.

Nastavak predavanja METODE INTEGRALNOG GLAĐIVANJA I TAČKA Metoda najmanjeg kvadrata Neka se tačkom na skupu zadaje mreža PRIMJENA OPŠTENIH POLINOMA i na mreži se specificira mreža

Teorija površina u diferencijalnoj geometriji Elementarna površina Definicija Područje na ravni naziva se elementarnim područjem ako je slika otvorenog kruga pod homeomorfizmom,

POGLAVLJE 4 Sistemi običnih diferencijalnih jednadžbi OPĆI POJMOVI I DEFINICIJE Osnovne definicije Za opisivanje nekih procesa i pojava često je potrebno nekoliko funkcija Pronalaženje ovih funkcija

UDK 629.78 BRZA METODA ZA PRORAČUN REFERENTNE TRAJEKTORIJE Spuštanja VAZDUHOPLOVA V.I. Kiseljov Predložena je nova metoda za proračun referentne putanje vještačkog Zemljinog satelita koji se spušta iz orbite.

6 Metode aproksimacije funkcije. Najbolja aproksimacija. Metode aproksimacije o kojima se raspravljalo u prošlom poglavlju zahtijevaju da čvorovi mrežne funkcije striktno pripadaju rezultujućem interpolantu. Ako ne zahtevate

Poglavlje 4 Sistemi linearnih jednadžbi Predavanje 7 Opća svojstva Definicija Normalni sistem (NS) linearnih diferencijalnih jednadžbi je sistem oblika x A () x + F () () gdje je A() kvadratna matrica

Modifikacija metode Godunova za rješavanje graničnih problema teorije školjki 77-48/597785 # 7, jul Belyaev A.V., Vinogradov Yu.I. UDK 59.7 Uvod Rusija, MSTU im. N.E. Bauman [email protected] [email protected]

Operativno istraživanje Definicija Operacija je događaj usmjeren na postizanje određenog cilja, dopuštajući nekoliko mogućnosti i njihovo upravljanje Definicija Operativno istraživanje skup matematičkih

UDK 62.5 - opšte 1 IDENTIFIKACIJA MATEMATIČKOG MODELA NELINEARNIH KOMPOZITNIH OBJEKATA Maslyaev S. I. GOUVPO “Mordovski državni univerzitet im. N. P. Ogarev”, Saransk Sažetak. Problem se proučava

336 UDK 6978:3518143 SINTEZA KONTROLE LETA U ATMOSFERI VOZILA KOJI SE VRAĆA VA Afanasjev Kazanjski nacionalni istraživački tehnički univerzitet po imenu ANtupoljev KAI Rusija 456318

Predavanje 9. Metoda paralelnog snimanja za rješavanje graničnog problema za sistem običnih diferencijalnih jednačina (ODE). Neke informacije iz računarske matematike Analiza aplikativnog softvera

Predavanje 9 Linearizacija diferencijalnih jednadžbi Linearne diferencijalne jednadžbe višeg reda Homogene jednadžbe svojstva njihovih rješenja Svojstva rješenja nehomogenih jednadžbi Definicija 9 Linearna

UDC 6- PROBLEM ADAPTIVNE KONTINUIRANE POTJERE AY Zoloduev St. Petersburg State University Rusija 98 St.

UDK 531.132.1 Izrada matematičkog modela kretanja oružja za vazdušni napad, principi konstruisanja modela i njegova softverska implementacija A.D. Parfenov 1, P.A. Babičev 1, Yu.V. Fadejev 1 1 Moskovsky

APOKSIMACIJA FUNKCIJA NUMERIČKA DIFERENCIJACIJA I INTEGRACIJA Ovaj odjeljak razmatra probleme aproksimacije funkcija korištenjem Lagrangeovih i Newtonovih polinoma korištenjem spline interpolacije

SISTEMI LINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA SA KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA Svođenje na jednu jednačinu th reda Sa praktične tačke gledišta, linearni sistemi sa konstantnim koeficijentima su veoma važni

RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA I SISTEMA NELINEARNIH JEDNAČINA.. RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA oblika Numeričko rješenje nelinearnih algebarskih ili transcendentalnih jednačina. je pronaći vrijednosti

Parcijalne diferencijalne jednadžbe prvog reda Neki problemi klasične mehanike, mehanike kontinuuma, akustike, optike, hidrodinamike, prijenosa zračenja svode se na parcijalne diferencijalne jednadžbe

Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Def. Diferencijalna jednadžba prvog reda je jednadžba koja povezuje nezavisnu varijablu, željenu funkciju i njen prvi izvod. U samom

DRŽAVNI KOMITET RUSKOG FEDERACIJE ZA VISOKO OBRAZOVANJE DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET NIŽNJEG NOVGORODA po imenu R.E.Alekseev ODSEK ZA ARTILJERIJSKO Oružje METODOLOŠKA UPUTSTVA za disciplinu

Elektronski časopis "Zbornik radova MAI". Izdanje 75 www.mai.ru/science/trudy/ UDK 629.78 Metoda za proračun približno optimalnih putanja svemirske letjelice na aktivnim mjestima lansiranja satelita

Optimizacija dinamike aviona prema različitim kriterijumima 1 UDK 517.977.5 A. A. ALEKSANDROV OPTIMIZACIJA DINAMIKA VAZDUHOPLOVNOG AVIONA PREMA RAZNIM KRITERIJUMIMA Rješenje problema optimalnog

UVOD Danas su metode konačnih elemenata (FE) sastavni dio inženjerske analize i razvoja. FE paketi se koriste u gotovo svim oblastima nauke koje se odnose na analizu građevinskih konstrukcija.

Predavanje 5 5 Teorema za postojanje i jedinstvenost rješenja Cauchyjevog problema za normalan ODE sistem Izjava problema Cauchyjev problem za normalan ODE sistem x = f (, x), () sastoji se od pronalaženja rješenja x =

ELEMENTI RAČUNA VARIJACIJA Osnovni pojmovi Neka je M određeni skup funkcija Funkcional J = J (y je varijabla koja ovisi o funkciji y (ako je svaka funkcija y(M za neke

Diferencijalna aproksimacija problema početne granične vrijednosti za jednadžbu oscilacije. Eksplicitne (unakrsne šeme) i implicitne diferencijalne šeme. Razmotrimo nekoliko opcija za aproksimaciju razlika linearne jednadžbe oscilacije:

Sadržaj Uvod. Osnovni pojmovi.... 4 1. Volterrine integralne jednadžbe... 5 Opcije domaćeg zadatka.... 8 2. Rezolventa Volterrine integralne jednadžbe. 10 opcija za domaći zadatak.... 11

Ministarstvo obrazovanja Ruske Federacije Ruski državni univerzitet za naftu i plin po imenu IM Gubkin VI Ivanov Smjernice proučiti temu „DIFERENCIJALNE JEDNAČINE“ (za studente

Diferencijalne jednadžbe višeg reda. Konev V.V. Pregledi predavanja. Sadržaj 1. Osnovni pojmovi 1 2. Jednačine koje se mogu reducirati 2 3. Linearne diferencijalne jednadžbe višeg reda

Numeričke metode za rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi Diferencijalna jednadžba: F(()) - obična (ovisno samo o) Opšti integral - ovisnost između nezavisne varijable i zavisne

8. Pregled numeričkih metoda za rješavanje diferencijalnih jednačina kretanja Formulacija problema Rješavanje jednadžbi kretanja je klasičan problem mehanike. Generalno, ovo je sistem diferencijalnih jednačina

5 Redovi stepena 5 Redovi stepena: definicija, oblast konvergencije Funkcionalni nizovi oblika (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) gde je, a, a, K, a ,k su neki brojevi koji se nazivaju brojevima potencijskog niza

ISSN 0321-1975. Mehanika čvrstih tela. 2002. Izd. 32 UDK 629.78, 62-50 c 2002. M.A. Velishchansky, A.P. Krischenko, S.B. Tkačev KVAZIOPTIMALNA REORIENTACIJA SVEMIRSKOG VOZILA Za prostorni problem

MINISTARSTVO PROSVETE I NAUKE RF FGBOU HPE DRŽAVNI UNIVERZITET TULA Katedra za teorijsku mehaniku PREDMET NA SEKCIJI "DINAMIKA" "ISTRAŽIVANJE OSCILACIJA MAŠINSKOG SISTEMA SA JEDNOM

Laboratorijski rad Kodiranje govornih signala zasnovanih na linearnom predviđanju Osnovni princip metode linearnog predviđanja je da se trenutni uzorak govornog signala može aproksimirati

Sistemi diferencijalnih jednadžbi Uvod Baš kao i obične diferencijalne jednadžbe, sistemi diferencijalnih jednačina se koriste za opisivanje mnogih procesa u stvarnosti.

Funkcije Diferencijacija funkcija 1 Pravila diferencijacije Pošto je derivacija funkcije određena kao u realnoj domeni, tj. u obliku granice, onda, koristeći ovu definiciju i svojstva granica,

9. Antiderivativ i neodređeni integral 9.. Neka je funkcija f() data na intervalu I R. Funkcija F () naziva se antiderivatom funkcije f () na intervalu I ako je F () = f () za bilo koje I, a antiderivat

1377 UDK 51797756 NEKE PROCJENE BLIZINE KVAZIOPTIMALNE KONTROLE OPTIMALNOM ZA PROBLEM LINEARNE BRZINE SA KAŠNJENJEM AA Korobov Institut za matematiku imena S. L. Soboleva SB RAS Rusija,

UDK 68.5 KONSTRUKCIJA EKVIVALENTNIH RELEJNIH UPRAVLJAČA ZA NELINEARNE SISTEME E.A. BAIZDRENKO E.A. ŠUŠLJAPIN Rad je posvećen problemu određivanja uklopnih momenata ograničenih relejnih kontrola za

Tema 4. NUMERIČKO RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA -1- Tema 4. NUMERIČKO RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA 4.0. Izjava o problemu Problem pronalaženja korijena nelinearne jednadžbe oblika y=f() često se susreće u naučnim

Laboratorijski rad 6. Aproksimacija funkcija Aproksimacija (aproksimacija) funkcije f (x) je nalaz funkcije g (x) (aproksimirajuća funkcija) koja bi bila bliska datoj. Kriterijumi

Kontrola prostornog kretanja hvataljke robota manipulatora # 07, jul 015. Belov I. R. 1, Tkachev S. B. 1,* UDK: 519.71 1 Rusija, MSTU im. N.E. Bauman Uvod Metode rješavanja problema kontrole kretanja

TEORIJSKA MEHANIKA SEMESTAR 2 PREDAVANJE 4 GENERALIZOVANE KOORDINATE I JEDNAČINE RAVNOTEŽE SILA SISTEMA U OPŠTIM KOORDINATAMA VIRTUALNE DIFERENCIJALNE POTENCIJALNE SILE Predavač: Batyaev Aleksandrovich Evgeniy

UDK 629.76 MULTIKRITERIJALNA OPTIMIZACIJA TRAJEKTORIJSKOG Spuštanja JEDNOSTEPENOJNE RAKETE V.I. Kiselev Jedan od mogući načini rješavanje problema izgradnje jednostepene rakete, algoritam

Lekcija 3.1. AERODINAMIČKE SILE I MOMENTI Ovo poglavlje ispituje rezultujući efekat sile atmosferskog okruženja na avion koji se kreće u njemu. Uvedeni su koncepti aerodinamičke sile,

Predavanja -6 Poglavlje Obične diferencijalne jednadžbe Osnovni pojmovi Različiti problemi u prirodnim naukama ekonomije dovode do rješenja jednačina u kojima je nepoznata funkcija jedne ili

1 Lagrangeov polinom Neka se iz eksperimenta dobiju vrijednosti nepoznate funkcije (x i = 01 x [ a b] i i i). Problem nastaje približne rekonstrukcije nepoznate funkcije (x u proizvoljnoj tački x Za

Moskovski državni tehnički univerzitet nazvan po N.E. Bauman Fakultet fundamentalnih nauka Katedra za matematičko modeliranje A.N. Kaviakovykov, A.P. Kremenko

Statistička radiofizika i teorija informacija Predavanje 8 12. Linearni sistemi. Spektralni i vremenski pristupi. Linearni su sistemi ili uređaji čiji se procesi mogu opisati pomoću

Predavanje 8 Diferencijacija kompleksne funkcije Razmotrimo kompleksnu funkciju t t t f gdje je ϕ t t t t t t t f t t t t t t t Teorema Neka su funkcije diferencijabilne u nekoj tački N t t t i funkcija f diferencijabilna

Mityukov V.V. Uljanovska viša škola vazduhoplovstva civilno vazduhoplovstvo Institut, programer OVTI, [email protected] Univerzalno modeliranje diskretno specificiranih skupova kontinuiranim ovisnostima KLJUČ

Pod numeričkom integracijom se podrazumijeva skup numeričkih metoda za pronalaženje vrijednosti određenog integrala. Prilikom rješavanja inženjerskih problema ponekad je potrebno izračunati prosječnu vrijednost

Predavanje 8 Sistemi diferencijalnih jednadžbi Opšti pojmovi Sistem običnih diferencijalnih jednačina -reda je skup jednačina F y y y y (F y y y y (F y y y y (Poseban slučaj

U slučaju analize dinamike aviona koji leti brzinom znatno manjom od orbitalne, jednačine kretanja se mogu pojednostaviti u odnosu na opšti slučaj leta aviona, a posebno se rotacija i sferičnost Zemlje mogu zanemariti. . Pored toga, napravićemo niz pojednostavljujućih pretpostavki.

samo kvazistatički, za trenutnu vrijednost glave brzine.

Prilikom analize stabilnosti i upravljivosti letjelice koristit ćemo sljedeće pravokutne desne koordinatne ose.

Normalni zemaljski koordinatni sistem OXgYgZg. Ovaj sistem koordinatnih osa ima konstantnu orijentaciju u odnosu na Zemlju. Početak koordinata poklapa se sa centrom mase (CM) aviona. Osi 0Xg i 0Zg leže u horizontalnoj ravni. Njihova orijentacija se može uzeti proizvoljno, ovisno o ciljevima problema koji se rješava. Prilikom rješavanja navigacijskih problema, os 0Xg je često usmjerena na sjever paralelno s tangentom na meridijan, a osa 0Zg usmjerena je na istok. Za analizu stabilnosti i upravljivosti aviona, pogodno je uzeti smjer orijentacije ose 0Xg da se poklapa u smjeru sa projekcijom vektora brzine na horizontalnu ravan u početnom trenutku vremena proučavanja kretanja. U svim slučajevima, os 0Yg je usmjerena prema gore duž lokalne vertikale, a osa 0Zg leži u horizontalnoj ravni i zajedno sa osama OXg i 0Yg čini desni sistem koordinatnih osa (slika 1.1). Ravan XgOYg naziva se lokalna vertikalna ravan.

Pridruženi koordinatni sistem OXYZ. Izvor koordinata nalazi se u centru mase aviona. Osa OX leži u ravni simetrije i usmjerena je duž linije tetive krila (ili paralelno s nekim drugim smjerom fiksiranim u odnosu na avion) ​​prema nosu aviona. Osa 0Y leži u ravni simetrije aviona i usmjerena je prema gore (u horizontalnom letu), osa 0Z dopunjuje sistem desno.

Napadni ugao a je ugao između uzdužne ose aviona i projekcije vazdušne brzine na OXY ravan. Ugao je pozitivan ako je projekcija vazdušne brzine aviona na osu 0Y negativna.

Ugao klizanja p je ugao između brzine aviona i ravni OXY pridruženog koordinatnog sistema. Ugao je pozitivan ako je projekcija vazdušne brzine na poprečnu osu pozitivna.

Položaj pridruženog sistema koordinatnih osa OXYZ u odnosu na normalni zemaljski koordinatni sistem OXeYgZg može se u potpunosti odrediti pomoću tri ugla: φ, #, y, koji se nazivaju uglovi. Euler. Uzastopno rotiranje povezanog sistema

koordinate svakom od Ojlerovih uglova, može se doći do bilo koje ugaone pozicije pridruženog sistema u odnosu na ose normalnog koordinatnog sistema.

Prilikom proučavanja dinamike aviona koriste se sljedeći koncepti Eulerovih uglova.

Ugao skretanja r]) je ugao između nekog početnog smjera (na primjer, 0Xg ose normalnog koordinatnog sistema) i projekcije pridružene ose aviona na horizontalnu ravan. Ugao je pozitivan ako je os OX poravnata s projekcijom uzdužne ose na horizontalnu ravninu okretanjem u smjeru kazaljke na satu oko ose OYg.

Ugao nagiba # je ugao između uzdužne # ose aviona OX i lokalne horizontalne ravni OXgZg.Ugao je pozitivan ako je uzdužna os iznad horizonta.

Ugao kotrljanja y je ugao između lokalne vertikalne ravni koja prolazi kroz os OX y i pridružene ose 0Y aviona. Ugao je pozitivan ako je osa O K aviona poravnata s lokalnom vertikalnom ravninom okretanjem u smjeru kazaljke na satu oko ose OX. Eulerovi uglovi se mogu dobiti uzastopnim rotacijama povezanih osa oko normalnih ose. Pretpostavićemo da su normalni i povezani koordinatni sistemi kombinovani na početku. Prva rotacija sistema povezanih osa će se izvršiti u odnosu na osu O za ugao skretanja r]; (f se poklapa sa OYgX osom na slici 1.2)); druga rotacija je u odnosu na osu 0ZX pod uglom F ('& se poklapa sa osom OZJ i, konačno, treća rotacija se vrši u odnosu na osu OX pod uglom y (y se poklapa sa osom OX). vektori F, F, u, koji su komponente

vektor ugaone brzine aviona u odnosu na normalni koordinatni sistem, na povezane ose, dobijamo jednadžbe za odnos između Eulerovih uglova i ugaonih brzina rotacije povezanih osa:

co* = Y + sin *&;

o)^ = i)COS’&cosY+ ftsiny; (1.1)

co2 = φ cos y - φ cos φ sin y.

Prilikom izvođenja jednadžbi gibanja za centar mase aviona potrebno je uzeti u obzir vektorsku jednačinu za promjenu impulsa

-^- + o>xV)=# + G, (1.2)

gdje je ω vektor brzine rotacije osa povezanih sa zrakoplovom;

R je glavni vektor spoljnih sila, u opštem slučaju aerodinamičkih

logičke sile i vuča; G je vektor gravitacionih sila.

Iz jednačine (1.2) dobijamo sistem jednačina kretanja aviona CM u projekcijama na povezane ose:

t (gZ?~ + °hVx ~ °ixVz) = Ry + G!!’ (1 -3)

t iy’dt “b U - = Rz + Gz>

gdje su Vx, Vy, Vz projekcije brzine V; Rx, Rz - projekcije

rezultantne sile (aerodinamičke sile i potisak); Gxi Gyy Gz - projekcije gravitacije na povezane ose.

Projekcije gravitacije na povezane ose određuju se pomoću kosinusa smjera (tabela 1.1) i imaju oblik:

Gy = - G cos ft cos y; (1.4)

GZ = G cos d sin y.

Kada letite u atmosferi koja miruje u odnosu na Zemlju, projekcije brzine leta povezane su sa uglovima napada i klizanja i veličinom brzine (V) relacijama

Vx = V cos a cos p;

Vu = - V sin a cos r;

Povezano

Izrazi za projekcije rezultujućih sila Rx, Rin Rz imaju sljedeći oblik:

Rx = - cxqS - f R cos ([>;

Rty = cyqS p sin (1.6)

gdje je cx, cy, sg - koeficijenti projekcija aerodinamičkih sila na ose pridruženog koordinatnog sistema; P je broj motora (obično P = / (U, #)); Fn - ugao zastoja motora (ff > 0, kada je projekcija vektora potiska na 0Y osu aviona pozitivna). Nadalje, svuda ćemo uzeti = 0. Da bismo odredili gustinu p (H) uključenu u izraz za pritisak brzine q, potrebno je integrirati jednadžbu za visinu

Vx sin ft+ Vy cos ft cos y - Vz cos ft sin y. (1.7)

Zavisnost p (H) može se naći iz tablica standardne atmosfere ili iz približne formule

gdje je za visine leta I s 10.000 m K f 10~4. Da bi se dobio zatvoreni sistem jednačina kretanja aviona po srodnim osama, jednačine (13) moraju biti dopunjene kinematičkim

relacije koje omogućavaju određivanje orijentacijskih uglova aviona y, ft, r]1 i mogu se dobiti iz jednačina (1.1):

■f = Kcos U - sin V):

■fr= “y sin y + cos Vi (1-8)

Y= co* - tan ft (©u cos y - sinY),

a ugaone brzine cov, co, coz su određene iz jednačina kretanja aviona u odnosu na CM. Jednačine kretanja aviona u odnosu na centar mase mogu se dobiti iz zakona promjene ugaonog momenta

-^-=MR-ZxK.(1.9)

Ova vektorska jednadžba koristi sljedeću notaciju: ->■ ->

K je moment impulsa aviona; MR je glavni momenat spoljnih sila koje deluju na vazduhoplov.

Projekcije vektora ugaonog momenta K na pokretne ose općenito se pišu u sljedećem obliku:

K t = I x^X? xy®y I XZ^ZI

K, Iu^h N[ IU^U Iyz^zi (1.10)

K7. - IXZ^X Iyz^y Iz®Z*

Jednačine (1.10) se mogu pojednostaviti za najčešći slučaj analize dinamike aviona koji ima ravan simetrije. U ovom slučaju, 1hg = Iyz - 0. Iz jednačine (1.9), koristeći relacije (1.10), dobijamo sistem jednačina za kretanje aviona u odnosu na CM:

h -jf — — hy (“4 — ©Í̈) + Uy — !*) = MRZ-

Ako uzmemo glavne osi inercije kao SY OXYZ, onda je 1xy = 0. S tim u vezi, izvršićemo dalju analizu dinamike aviona koristeći glavne ose inercije aviona kao OXYZ ose.

Momenti uključeni u desnu stranu jednadžbe (1.11) su zbir aerodinamičkih momenata i momenata potiska motora. Aerodinamički momenti su zapisani u obliku

gdje su tH1 ty, mz bezdimenzionalni koeficijenti aerodinamičkih momenata.

Koeficijenti aerodinamičkih sila i momenata općenito se izražavaju u obliku funkcionalnih ovisnosti o kinematičkim parametrima kretanja i parametrima sličnosti, ovisno o načinu leta:

y, g mXt = F(a, p, a, P, coXJ coyj co2, be, f, bn, M, Re). (1.12)

Brojevi M i Re karakteriziraju početni način leta, pa se pri analizi stabilnosti ili kontroliranih kretanja ovi parametri mogu uzeti kao konstantne vrijednosti. U opštem slučaju kretanja, desna strana svake od jednadžbi sila i momenata sadržaće prilično složenu funkciju, koja se u pravilu određuje na osnovu aproksimacije eksperimentalnih podataka.

Fig. 1.3 prikazana su pravila znakova za glavne parametre kretanja vazduhoplova, kao i za veličine odstupanja komandi i upravljačkih poluga.

Za male uglove napada i bočnog klizanja obično se koristi reprezentacija aerodinamičkih koeficijenata u obliku proširenja Taylorovog niza u smislu parametara kretanja, uz očuvanje samo prvih članova ovog proširenja. Ovaj matematički model aerodinamičkih sila i momenata za male napadne uglove prilično se dobro slaže s vježbom leta i eksperimentima u aerotunela. Na osnovu materijala iz radova o aerodinamici aviona različite namene, prihvatićemo sledeći oblik predstavljanja koeficijenata aerodinamičkih sila i momenata u funkciji parametara kretanja i uglova otklona komandi:

sh ^ sho 4~ sh (°0"

U ^ SU0 4" s^ua 4" S!/F;

sg = cfp + SgN6„;

th - itixi|5 - f - ■b thxha>x-(- th -f - /l* (I -|- - J - L2LP6,!

o (0.- (0^- r b b„

tu = myfi + tu ho)x + tu Uyy + r + ga/be + tu bn;

tg = tg(a) + tg zwz/i? f.

Prilikom rješavanja specifičnih problema dinamike leta, opći oblik predstavljanja aerodinamičkih sila i momenata može se pojednostaviti. Za male napadne uglove, mnogi aerodinamički koeficijenti bočnog kretanja su konstantni, a uzdužni moment se može predstaviti kao

mz(a) = mzo + m£a,

gdje je mz0 koeficijent uzdužnog momenta pri a = 0.

Komponente uključene u izraz (1.13), proporcionalne uglovima α, obično se nalaze iz statičkih ispitivanja modela u aerotunelima ili proračunom. Naći

Istraživački institut derivata, twx (y) je obavezan

dinamičko testiranje modela. Međutim, kod ovakvih testova obično dolazi do istovremene promene ugaonih brzina i uglova napada i klizanja, pa se zbog toga prilikom merenja i obrade istovremeno određuju sledeće veličine:

CO - CO- ,

tg* = t2g -mz;

0), R. Yuu I vijek.

mx* = mx + mx sin a; tu* = Shuh tu sin a.

CO.. (O.. ft CO-. CO.. ft

ty% = t,/ -|- tiiy cos a; tx% = txy + tx cos a.

Rad pokazuje da za analizu dinamike aviona,

posebno pri niskim napadnim uglovima, dozvoljeno je predstavljati trenutak

com u obliku relacija (1.13), u kojima su derivacije mS i m$

uzeti jednako nuli, a pod izrazima m®x, itd.

veličine m“j, m™u se razumeju [vidi (1.14)], određeno eksperimentalno. Pokažimo da je to prihvatljivo ograničavajući naše razmatranje na probleme analize letova sa malim napadnim uglovima i bočnim proklizavanjem pri konstantnoj brzini leta. Zamijenivši izraze za brzine Vh, Vy, Vz (1.5) u jednačine (1.3) i izvršivši potrebne transformacije, dobijamo

= % COS a + coA. sina - f -^r )