De typer av rörelser vars banor strikt ligger antingen i vertikala eller horisontella plan beaktas. Detta är naturligtvis någon form av schematisering, men ganska acceptabelt. Men i det allmänna fallet ligger flygbanan inte i ett plan, utan är rumslig. Sådana manövrar inkluderar stridsväng, spiral, sned slinga, pipa, etc. Låt oss överväga den första av de listade manövrarna.

En stridsväng är en manöver av ett flygplan där man, samtidigt med en ändring av flygriktningen, gör en stigning. Den rumsliga banan för en sådan manöver är som en kombination av en sväng och en kulle (Fig. 7.10). Vid beräkning av en stridsväng är inverkan av sidokraften Za och överbelastningen nza liten,

Ris. 7.11. Typiskt program för att byta roll ua och överbelasta pua under en stridsväng

och manövern kan anses vara koordinerad, p « 0, nza « 0, om NUBS-organen inte används.

< Расчет боевого разворота ведется численным интегрированием уравнений (7.10) … (7.14).

För att beräkna banan för en stridsväng, förutom att ställa in motordriftsläget (vanligtvis antas maximalt läge), är det nödvändigt att ha ytterligare två kontrollfunktioner, för vilka det är bekvämt att ta nv o (W) och y a (V).

En typisk typ av förändring i rullning och överbelastning visas i fig. 7.11. Valet av parametervärden i parametrarna ua t»x och puah beror på den tilldelade uppgiften för stridsvängen. Från rörelseekvationerna är det tydligt att ju lägre överbelastning, desto lägre rotationsvinkelhastighet och desto längre tid tar det att slutföra en stridsväng. En ökning av rullningen vid en given överbelastning leder till en minskning av den klätterbara höjden. I extremfallet kan du plocka upp en så stor rulle att stridsvängen förvandlas till en sväng. Vid mycket små rullningsvinklar kommer banan att närma sig rutschbanan.

Om en stridsväng kräver en minimal manövertid utan att ställa in villkoren för en maximal höjdstigning, så visar ekvation (7.11) att med en ökning av överbelastning och rullningsvinkel ökar vinkelhastigheten för banasvängarna. Ur denna synvinkel, den vanliga lagen för förändringar i dessa parametrar, som visas i
ris. 7.11, är olönsamt, eftersom c. I slutet av manövern visar sig produkten pua sin ua vara liten och svängen är försenad. Du kan minska stridens vändningstid genom att tillämpa lagen om rullbyte som visas i fig. 7.11 prickad linje. I detta fall, vid slutet av svängen, är flygplanet nästan i ett inverterat läge och det är möjligt att upprätthålla en konstant maximal överbelastning till slutet av manövern. I analogi med en sväng kan en sådan stridsväng kallas påtvingad. Om syftet med en sväng är att öka höjden, bör en liten överbelastning antas, och lagen om rullbyte bör tas som vanligt.

Schema för vissa andra rumsliga manövrar ges i fig. 7.12.

Möjligheterna att utföra vilken manöver som helst, både platt och rumslig, begränsas av det tillgängliga värdet för den normala överbelastningen Pua disp OCH den MINIMUM EVOLUTIONÄRA flyghastigheten vid vilken manövern är möjlig (pua disp > 1, kontrollernas effektivitet bibehålls, stoppning förekommer inte, etc.).

Manövrerbarheten kan ökas om man för flygplan som kräver höga manövrerbarhetsnivåer använder en vinge med en profil som kan ändras efter flyglägen (hastighet, anfallsvinkel). Således, genom att avleda spjälorna och klaffarna under flygning när du når höga anfallsvinklar, kan du avsevärt öka arealen och Sua ytterligare, förhindra stopp och stall, och avsevärt minska den lägsta hastighetsgränsen under manöver 114]. Sådan kontroll av vingkonfigurationen under en manöver måste utföras automatiskt, eftersom pilotens uppmärksamhet överbelastas vid pilotering. Hastighet för enheter som styr element, ma-. Den neurala mekaniseringen av vingen bör vara tillräcklig för att flexibelt ändra sin position under kraftiga manövrar. Men om ett sådant system kan skapas, ökar flygplanets manövrerbarhet vid låga hastigheter avsevärt.

Mer läsning, sid. 104-114, P01, sid. 278-294, sid. 339-390.

Kontrollfrågor

1. Vilken manöver kallas koordinerad?

2. Varför finns det ett entydigt samband mellan Pua och ua under en koordinerad manöver i horisontalplanet?

3. Vad är begränsningen för det tillgängliga pua-värdet vid låga angivna flyghastigheter? På de stora?

4. Varför ökar minimiflyghastigheten Utsh (Yaia req) med ökande pua.1res?

5. Härled formeln för i? V. Pr vid pauT bestäms av (7.9). Analysera RB-sambandet. upp från höjden.

6. Visa den ungefärliga karaktären av förändringen i överbelastningen av pua när du utför Nesterov-slingan, fat.

Närvaron av ett plan av materialsymmetri i ett flygplan gör att dess rumsliga rörelse kan delas upp i längsgående och laterala. Longitudinell rörelse avser flygplanets rörelse i vertikalplanet i frånvaro av rullning och glidning, med rodret och skevroder i neutralt läge. I detta fall inträffar två translationella och en rotationsrörelse. Translationell rörelse utförs längs hastighetsvektorn och längs den normala utförs rotationsrörelse runt Z-axeln. Längsgående rörelse kännetecknas av attackvinkeln α, banans lutningsvinkel θ, stigningsvinkel, flyghastighet, flyghöjd, samt hissens position och storleken och riktningen i det vertikala dragkraftsplanet DU.

Ekvationssystem för longitudinella rörelser av ett flygplan.

Ett slutet system som beskriver flygplanets längsgående rörelse kan isoleras från det kompletta ekvationssystemet, förutsatt att parametrarna för sidorörelsen, såväl som avböjningsvinklarna för rullnings- och girkontrollerna är lika med 0.

Relationen α = ν – θ erhålls från den första geometriska ekvationen efter dess transformation.

Den sista ekvationen i system 6.1 påverkar inte de andra och kan lösas separat. 6.1 – olinjärt system, eftersom innehåller produkter av variabler och trigonometriska funktioner, uttryck för aerodynamiska krafter.

För att erhålla en förenklad linjär modell av ett flygplans längsgående rörelse är det nödvändigt att införa vissa antaganden och utföra en linjäriseringsprocedur. För att underbygga ytterligare antaganden måste vi överväga dynamiken i flygplanets längsgående rörelse med stegvis avböjning av hissen.

Flygplanets svar på stegvis avböjning av hissen. Uppdelning av longitudinell rörelse i långsiktig och kortsiktig.

Med en stegvis avvikelse δ in uppstår ett moment M z (δ in), som roterar relativt Z-axeln med en hastighet ω z. I det här fallet ändras tonhöjden och anfallsvinklarna. När anfallsvinkeln ökar uppstår en ökning av lyftkraften och ett motsvarande moment av longitudinell statisk stabilitet M z (Δα), vilket motverkar momentet M z (δ in). Efter att rotationen slutar, vid en viss anfallsvinkel, kompenserar den för det.

Förändringen i anfallsvinkeln efter balansering av momenten M z (Δα) och M z (δ in) upphör, men pga. flygplanet har vissa tröghetsegenskaper, d.v.s. har ett tröghetsmoment I z i förhållande till OZ-axeln, då är fastställandet av anfallsvinkeln oscillerande till sin natur.

Vinkelsvängningar för flygplanet runt OZ-axeln kommer att dämpas med det naturliga aerodynamiska dämpningsmomentet M z (ω z). Ökningen i lyftkraft börjar ändra riktningen för hastighetsvektorn. Även lutningsvinkeln för banan θ förändras, vilket i sin tur påverkar anfallsvinkeln. Baserat på balansen av momentlaster fortsätter stigningsvinkeln att förändras synkront med förändringen i banans lutningsvinkel. I detta fall är attackvinkeln konstant. Vinkelrörelser över ett kort intervall sker med hög frekvens, d.v.s. har en kort period och kallas kortperiod.

Efter att de kortsiktiga svängningarna har lagt sig, blir en förändring i flyghastighet märkbar. Främst på grund av Gsinθ-komponenten. En förändring i hastighet ΔV påverkar ökningen av lyftkraften och som en konsekvens av banans lutningsvinkel. Det senare ändrar flyghastigheten. I detta fall uppstår fädningssvängningar i hastighetsvektorn i storlek och riktning.

Dessa rörelser kännetecknas av låg frekvens och bleknar långsamt, varför de kallas långperiod.

När vi övervägde dynamiken i longitudinell rörelse tog vi inte hänsyn till den extra lyftkraften som skapas av hissens avböjning. Denna ansträngning syftar till att minska den totala lyftkraften, därför observeras, för tunga flygplan, fenomenet sättningar - en kvalitativ avvikelse i banans lutningsvinkel med en samtidig ökning av stigningsvinkeln. Detta sker tills ökningen i lyft kompenserar för lyftkomponenten på grund av hissnedböjning.

I praktiken förekommer inte långa periodoscillationer, eftersom släcks i tid av piloten eller automatiska kontroller.

Överföringsfunktioner och strukturdiagram av den matematiska modellen för longitudinell rörelse.

Överföringsfunktionen är bilden av utgångsvärdet, baserat på bilden av ingången vid noll initiala förhållanden.

En egenskap hos ett flygplans överföringsfunktioner som styrobjekt är att förhållandet mellan utgående kvantitet, jämfört med inmatad kvantitet, tas med ett negativt tecken. Detta beror på det faktum att det inom aerodynamik är vanligt att betrakta avvikelser som skapar negativa ökningar i flygplanets rörelseparametrar som positiva avvikelser av kontroller.

I operatörsform ser posten ut så här:

System 6.10, som beskriver ett flygplans kortsiktiga rörelser, motsvarar följande lösningar:

(6.11)

(6.12)

Således kan vi skriva överföringsfunktioner som relaterar attackvinkeln och vinkelhastigheten i stigningen till hissavböjningen

(6.13)

För att överföringsfunktionerna ska ha en standardform introducerar vi följande notation:

, , , , ,

Med hänsyn till dessa relationer skriver vi om 6.13:

(6.14)

Således kommer överföringsfunktionerna för banans lutningsvinkel och stigningsvinkeln, beroende på hissens avböjning, att ha följande form:

(6.17)

En av de viktigaste parametrarna som kännetecknar ett flygplans längsgående rörelse är normal överbelastning. Överbelastning kan vara: Normal (längs OU-axeln), längsgående (längs OX-axeln) och lateral (längs OZ-axeln). Det beräknas som summan av de krafter som verkar på flygplanet i en viss riktning, dividerat med tyngdkraften. Projektioner på axeln gör att man kan beräkna storleken och dess förhållande till g.

- normal överbelastning

Från den första kraftekvationen i system 6.3 får vi:

Med hjälp av uttryck för överbelastning skriver vi om:

För horisontella flygförhållanden ( :

Låt oss skriva ner ett blockschema som motsvarar överföringsfunktionen:

-δ i M ω z ν ν α - θ θ

Sidokraften Za (δ n) skapar ett rullmoment M x (δ n). Förhållandet mellan momenten M x (δ n) och M x (β) kännetecknar flygplanets reaktion framåt och bakåt på roderavböjning. Om M x (δ n) är större i magnitud än M x (β), kommer flygplanet att luta i motsatt riktning av svängen.

Med hänsyn till ovanstående kan vi konstruera ett blockschema för att analysera ett flygplans sidorörelse när rodret avböjs.

-δ n M y ω y ψ ψ
β β F z Ψ 1 Mx
ω y ω x

I det så kallade flatsvängläget kompenseras rullmomenten av piloten eller motsvarande styrsystem. Det bör noteras att med en liten lateral rörelse rullar planet, tillsammans med detta lutar lyftkraften, vilket orsakar en lateral projektion Y a sinγ, som börjar utveckla en stor lateral rörelse: planet börjar glida in på den lutande halvan. vinge, och motsvarande aerodynamiska krafter och moment ökar, och det gör att de så kallade ”spiralmomenten” börjar spela en roll: M y (ω x) och M y (ω z). Det är tillrådligt att överväga stora rörelser i sidled när flygplanet redan lutar, eller att använda exemplet med flygplanets dynamik när skevroder är avböjda.

Flygplansreaktion på skevroderavböjning.

När skevroder avleds uppstår ett moment M x (δ e). Planet börjar rotera runt den tillhörande axeln OX, och en rullningsvinkel γ uppträder. Dämpningsmomentet M x (ω x) motverkar flygplanets rotation. När flygplanet lutar, på grund av en förändring av rullningsvinkeln, uppstår en sidokraft Z g (Ya), som är resultatet av viktkraften och lyftkraften Ya. Denna kraft "vecklar ut" hastighetsvektorn, och spårvinkeln Ψ 1 börjar förändras, vilket leder till uppkomsten av en glidvinkel β och motsvarande kraft Z a (β), samt ett moment av spårets statiska stabilitet M y (β), som börjar veckla ut det längsgående axelflygplanet med vinkelhastighet ω y. Som ett resultat av denna rörelse börjar girvinkeln ψ att ändras. Sidokraften Za (β) är riktad i motsatt riktning med avseende på kraften Z g (Ya), så den minskar i viss mån förändringshastigheten i vägvinkeln Ψ 1.

Kraften Za (β) är också orsaken till momentet av transversell statisk stabilitet. M x (β), som i sin tur försöker ta ut planet ur rullen, och vinkelhastigheten ω y och motsvarande spiralaerodynamiska moment M x (ω y) försöker öka rullningsvinkeln. Om M x (ω y) är större än M x (β) uppstår den så kallade ”spiralinstabiliteten”, där rullningsvinkeln, efter att skevrorna återgått till neutralläget, fortsätter att öka, vilket leder till flygplanet. vridning med ökande vinkelhastighet.

En sådan sväng kallas en koordinerad sväng, och krängningsvinkeln ställs in av piloten eller med hjälp av ett automatiskt kontrollsystem. I detta fall, under svängen, kompenseras de störande momenten för roll M x β och M x ωу, rodret kompenserar för glidning, det vill säga β, Z a (β), M y (β) = 0, medan momentet M y (β ), som vände flygplanets längdaxel, ersätts av momentet från rodret M y (δ n), och sidokraften Z a (β), som förhindrade förändringen i vägvinkeln, ersätts av kraften Za (δ n). Vid en koordinerad sväng ökar hastigheten (manövrerbarheten) medan flygplanets längdaxel sammanfaller med flyghastighetsvektorn och svänger synkront med vinkeländringen Ψ 1.

Storlek: px

Börja visa från sidan:

Transkript

1 Elektronisk tidskrift "Proceedings of MAI". Utgåva 78 UDC 57.95: Lösning av gränsvärdesproblemet att bilda ett flygplans bana när man utför en rumslig manöver Tang Thanh Lam Moscow Institute of Physics and Technology ( State University) MIPT st. Gagarina Zhukovsky Moskva-regionen 484 Ryssland e-mal: Sammanfattning Problemet med att planera ett flygplans bana när man utför en rumslig manöver beaktas. För att erhålla en bana i överensstämmelse med de specificerade randvillkoren används två tillvägagångssätt baserade på begreppen om det omvända problemet med dynamik och representationen av banan i en parametriserad form. I det första fallet övervägs den enklaste parametriseringen, vilket endast säkerställer att gränsvillkoren uppfylls. I det andra fallet ger parameterisering ytterligare optimering av något kvalitetskriterium, vilket motsvarar en viss implementering av den direkta variationsmetoden. Specifika exempel används för att jämföra dessa två tillvägagångssätt. Nyckelord: rumslig manöver av ett flygplan, bana planering, gränsvärdesproblem, invers dynamik, direkt variationsmetod. Inledning En av flygdynamikens huvuduppgifter är att bestämma banan och kontrollerna som säkerställer överföringen av flygplanet från en given startpunkt till

2 en given slutpunkt i rymden. Om ett kontrollkvalitetskriterium dessutom specificeras kan problemet lösas med metoder för optimal kontrollteori. Men i vilket fall som helst är bildandet av en flygbana i grunden en gränsuppgift. Hittills har många metoder utvecklats för att lösa problem av denna typ. Bland dem är metoderna för att rikta in sig på ändliga skillnader av finita element, Galerkin-Ritz-metoden, metoder för reduktion till Fredholms integralekvationer etc. välkända. Bland de lovande riktningar som nyligen föreslagits är lösningsmetoder baserade på banaparameterisering och tillämpning av begreppet omvända dynamikproblem. Parametrering av banan gör att du kan minska problemet med att hitta de erforderliga värdena för ett ändligt antal parametrar, och konceptet med invers dynamik gör det möjligt att enkelt bestämma de kontroller som är nödvändiga för att utföra rörelse längs den önskade banan. Om det dessutom är nödvändigt att optimera kontrollkvaliteten enligt något kriterium, så motsvarar detta tillvägagångssätt en av de möjliga implementeringarna av den direkta variationsmetoden. Den största fördelen med denna riktning är den jämförande enkelheten och effektiviteten hos beräkningsalgoritmer. I framtiden kommer detta att möjliggöra generering av banor i realtid, vilket är attraktivt för applikationer ombord. Den här artikeln diskuterar två karakteristiska sätt att forma en bana baserat på att specificera den i en parametriserad form. I den första metoden utförs samordningen av randvillkor genom lämpligt val av koefficienter [ 3 4 5] och i den andra metoden - genom ett särskilt val

3 grundläggande funktioner. Fria koefficienter för parametriserade beroenden i den andra metoden bestäms baserat på optimalitetsvillkoret för ett givet kvalitetskriterium och restriktioner för kontroller, vilket gör denna metod betydligt mer flexibel. Att beräkna banan kräver dock en ganska stor mängd beräkningar. Med hjälp av specifika exempel visar artikeln att den första metoden, trots sin attraktiva enkelhet, knappast kan användas för autonom generering av en flygplansbana. följande ekvationssystem: V g na sn gn a cos γ cos Ψ gn a sn γ/ V cos V cos cos V sn V cos sn /V () n a cosα X mg a n a snα Y mg a () Här koordinaterna för flygplanets masscentrum i det normala jordiska koordinatsystemet V flyghastighetsbana lutningsvinkel kursvinkel attackvinkel anfallsvinkel motorns dragkraft X a aerodynamisk motstånd Y en aerodynamisk lyftning m flygplans massa g gravitationsacceleration na - longitudinell överbelastning na - tvärgående 3

4 överbelastning. Aerodynamiska krafter X a och Y a beror på hastigheten V och på atmosfärens densitet på flyghöjden X a c V Y c V a där c c () och c c () är de aerodynamiska luftmotstånds- och lyftkoefficienterna, vars storlek beror på på attackvinkeln (vinkeln mellan den längsgående flygplansaxeln och flyghastighetsvektorn). För bana rörelse som beskrivs av modellen (), är kontrollvariablerna motorkraft (), attackvinkel () och rullningsvinkel (). I problem med banabildning kan dock överbelastningarna n a och n a betraktas istället för och som variabler. Attraktionskraften för detta tillvägagångssätt beror på det faktum att värdena n a n a och bestäms direkt av beroenden () () och () utan några ytterligare parametrar och variabler. För att tillämpa den omvända problemmetodiken krävs det att styrkrafterna kan bestämmas unikt längs givna banor. System () tillåter detta, vilket är lätt att verifiera. Låt beroenden av flygplanets koordinater i tid () () och () anges. Direkt från () följer: sn V cos sn cos (3) V. V Genom att differentiera dessa relationer finner vi V V cos Ψ Ψ V. (4) V V cos 4

5 Direkt från () är det också lätt att få fram uttryck för att bestämma överbelastningar och rullningsvinkel cos g g cos/ V n a V sn g n a V g cos g cos. (5) Å andra sidan, genom att differentiera de tre sista ekvationerna i systemet (), med hänsyn till de tre första ekvationerna i detta system, får vi följande relationer: n a g n n g cos cos n a a g sn n a a g cos sn n g cos sn cos n g cos cos a g cos sn sn n a a g sn sn g sn cos ( ) Detta resultat låter oss skriva: n n a a g sn cos sn g cos cos sn arcg g g cos sn cos cos sn g cos cos sn. sn (7) Formler (7) tillsammans med formler (3) kommer att bestämma kontrollvariablerna na na och γ i form av funktioner av koordinater () () () och deras första och andra derivator med avseende på tid. Motorns dragkraft och anfallsvinkel kan bestämmas från relationerna (). Således kan system () användas för att lösa inversa dynamikproblem. Det bör noteras att det vid det här laget redan finns ett antal metoder för att generera en bana baserad på konceptet om dynamikens omvända problem. Den här artikeln diskuterar de två mest typiska tillvägagångssätten: enkel bana planering och bana formation baserat på principen om optimalitet. 5

6. Enkel banaplanering Det antas att det givna initiala tillståndet = T och sluttillstånd = T för flygplanet, samt den initiala och slutliga tiden för manövern. De initiala och slutliga styrvektorerna u= Tu = T kan också specificeras. Det krävs att man konstruerar en flygbana och styrning som uppfyller alla dessa randvillkor. När vi betraktar banan () () (), ersätter vi fysisk tid med relativ tid τ i enlighet med transformationsformeln. (8) Här Δ = - så att τ = vid = och τ = vid =. Resultatet bör vara beroenden ((τ)) = (τ) ((τ)) = (τ) ((τ)) = (τ). Banplaneringsproceduren innebär att specificera funktioner (τ) (τ) (τ) i form av parametriserade beroenden med hjälp av basfunktioner. Till exempel kan polynom av formen h w (9) tas som (τ) (τ) (τ) där h w är konstanta koefficienter och... basfunktioner med egenskapen linjärt oberoende. För att förenkla beräkningar antas strukturen av basfunktionerna vara tillräcklig

7 7 enkel kräver bara att funktionerna (τ) (τ) (τ) är kontinuerliga och åtminstone två gånger differentierbara. Speciellt är formens maktrelationer bekväma att använda Alternativ med trigonometriska funktioner kan användas, såväl som kombinationer av effekt- och övertonsfunktioner, till exempel. cos sn Genom att differentiera beroenden (9) med avseende på τ får vi derivatorna w h. w h Polynom (τ) (τ) (τ) och deras derivator måste uppfylla de givna randvillkoren: Baserat på dessa relationer kommer vi att komponera tre ekvationssystem:

8 8 w w w w w w h h h h h h () I () är värdena Δ na na γ na na γ s s s s s= =.. kända. Värden på kvantiteter bestäms av ekvationer () och värden av relationer (). System () representerar 3=8 ekvationer för 3=8 okända koefficienter (...) (h h...h) och (w w...w). Uppgiften att beräkna koefficienter från systemet () underlättas av att detta system är uppdelat i 3 oberoende delsystem. Det är lätt att få en lösning. Till exempel, för det första delsystemet som använder vektormatrisnotation T T B

9 A kan vi skriva A = B och därför kommer den erforderliga formeln för att beräkna koefficienterna att ha formen =A - B. Eftersom basfunktionerna som används har egenskapen linjärt oberoende, då är matrisen A inte singular, därför finns den inversa matrisen A och det finns en unik lösning. Lösningarna av systemet () för de återstående koefficienterna (h h...h) och (w w...w) bestäms på liknande sätt. 3. Banplanering med den direkta variationsmetoden. I formler (9) i föregående avsnitt säkerställdes uppfyllandet av randvillkoren genom ett särskilt val av koefficienter för givna godtyckliga basfunktioner. Gränsvärdesproblemet kan dock lösas på annat sätt med hjälp av ett särskilt val av basfunktioner för godtyckligt givna koefficienter. I det här fallet tillåter närvaron av frihet i valet av koefficienter dig att kombinera banplaneringsproceduren med optimering av alla kvalitetskriterier och även ta hänsyn till begränsningar för fas- och kontrollvariabler. Tydligen föreslog Taranenko ett sådant tillvägagångssätt för flygdynamikproblem först i samband med optimering av direkt kontroll 9

10 genom variationsmetod. Taranenkos metod går ut på att ersätta argumentet för fysisk tid med något generaliserat argument τ i enlighet med ekvationen där λ är en okänd funktion. Banan ges av relationerna d d (τ) = (τ) (τ) = (τ) (τ) = 3(τ) V(τ) = 4(τ). Här måste funktionerna (τ) = 4 vara kontinuerliga, envärdiga och differentierbara över hela värdeintervallet för argumentet τ. Funktioner (τ) söks som en kombination av kända a priori specificerade basfunktioner: där j j j = 4 j = n basfunktioner j okända n j koefficienter. Funktioner och j väljs för att uppfylla inhomogena respektive homogena randvillkor: Till exempel enligt rekommendationer j. j

11 j j sn j eller j j. Det är lätt att se att detta val av basfunktioner garanterar (τ) tillfredsställelsen av randvillkoren för eventuella värden på parametrarna j. Å andra sidan är funktionerna (τ) beroende av koefficienterna j och därför kan man genom att välja dessa koefficienter påverka banan, säkerställa optimering av ett givet kvalitetskriterium och uppfyllande av kontrollrestriktioner utan att oroa sig för randvillkor. Låt oss omvandla systemet () till ett nytt argument τ: V g na sn / g a Ψ gna snγ/ V cos V coscos / V sn/ V cossn / / n cosγ cos/ V () Fortsätt på samma sätt som beskrivs i avsnitt från ekvationer () är inte svårt att få följande kinematiska samband: V sn V g V cos V 3/ 3/ cos. För kontrollvariabler erhålls följande formler:

12 cos arcg g cos/ V n a V sn g n a V g cos. g cos Formlerna ovan visar att alla kontroll- och tillståndsvariabler uttrycks genom (τ) (τ) (τ) V(τ) och deras derivator, men till skillnad från formlerna i avsnittet finns här dessutom en skalningsfunktion. Valet av fria koefficienter j kommer att vara underordnat optimeringen av den funktionella J p som beror på målet för problemet (här är p vektorn av koefficienterna j). Således reduceras bildandet av en optimal bana som uppfyller de givna randvillkoren till ett icke-linjärt programmeringsproblem: mn J (p) eller pc ma J (p) () pc där C är regionen av tillåtna värden för parametrarna p säkerställa att de erforderliga restriktionerna för kontroller och tillståndsvariabler uppfylls. Rekommendationer angående sätt att lösa detta problem ges i. 4. Beräkningsexempel De alternativ för banplanering som diskuterats ovan testades genom numeriska beräkningar för ett antal typiska manövrar. Beräkningsresultaten för två exempel presenteras i grafer i figur 4. Grafer för enkel banaplanering (tillval) visas med streckade linjer, och grafer över banaplanering med den direkta variationsmetoden (tillval) med optimering enligt prestandakriteriet visas med heldragna linjer. I båda fallen är randvillkoren desamma.

13 Exempel (sväng 8 med stigning) Gränsförhållanden: - manöverstart = V = 35 m/s Θ = rad Ψ = rad = m = 5 m = m na = na = γ = rad. - slutet av manövern = 4,5 s V = 35 m/s Θ = rad Ψ = π rad = m = 8 m = -7 m na = na = γ = rad. I beräkningarna av alternativet beaktas restriktioner för kontroller och tillståndsvariabler: 35 m/s V 8 m/s Θ -9 Ψ 7 -. na. -. na γ. 3

14 Fig.. Flygplansbanor (exempel). 4

15 Fig. Beteende hos kontroll- och tillståndsvariabler (exempel). I detta exempel sker svängen med en ganska stor radie. Banans krökning är liten, så förändringar i kontroll- och tillståndsvariabler är långsamma och jämna. Graferna visar att resultaten av de två alternativen skiljer sig åt, men de är inte för stora. Vi kan dra slutsatsen att båda alternativen ger praktiska lösningar. Exempel (sväng med 8 med återgång till ursprunglig höjd) Gränsvillkor: - start av manöver = 5

16 V = 35 m/s Θ = rad Ψ = rad = m = 5 m = m na = na = γ = rad. - slutet av manövern =.5 s V = 35 m/s Θ = rad Ψ = π rad = m = 5 m = -8 m na = na = γ = rad. I beräkningarna av alternativet beaktas restriktioner för styr- och tillståndsvariabler: 35 m/s V 8 m/s Θ -9 Ψ 7 -. na. -. na γ. Ris. 3. Flygplansbanor (exempel).

17 Fig. 4. Beteende hos kontroll- och tillståndsvariabler (exempel). I det här exemplet ger alternativet en svängbana med en mycket liten radie. Banans krökning är stor, därför inträffade förändringar i kontroll- och tillståndsvariabler snabbare och skarpare än i det första exemplet. Resultaten av alternativen skiljer sig mycket åt. Analys av beteendet hos beroenden V() och na() för varianten (fig. 4) visar att överbelastningen na förblir på nivån ~ under förhållanden med mycket låga hastigheter V, vilket är helt orealistiskt för ett konventionellt flygplan. Minimihastigheten når ~7 m/s (vid den:e sekunden), vilket är betydligt lägre än stallhastigheten och är oacceptabelt under flygsäkerhetsförhållanden. I närheten av denna punkt, grafen för beroendet Ψ() (Fig. 4) 7

18 visar en kraftig ökning av rotationsvinkeln. Men detta är ganska naturligt eftersom... i enlighet med rörelsekinematik (se 3:e ekvationen ()) leder situationen V i förhållandena n till kvittot. a Således, i det här exemplet, skapade alternativet en bana som var oacceptabel för användning. Resultatet är ganska förutsägbart eftersom Detta alternativ tar inte hänsyn till restriktioner som är viktiga för det praktiska genomförandet av den genererade banan. Samtidigt ger en formell kontroll av den resulterande lösningen för överensstämmelse mellan kontrollvariabler och tillståndsvariabler ingen information om lösningens oacceptabilitet. I fig. (5) visar grafer över beteendet hos tillståndsvariabler för den approximativa lösningen (9) och för resultaten av numerisk integration av det ursprungliga systemet av rörelseekvationer () (4:e ordningens Runge-Kutta-metod) med hjälp av kontroller beräknade med formler (7) ) för den genererade banan. Graferna för båda typerna sammanfaller, vilket indikerar överensstämmelsen hos den approximativa lösningen med dynamiken i det aktuella systemet. Detta ena exempel visar enbart otillräckligheten i att helt enkelt planera en flygbana för ett flygplan utan att ta hänsyn till de restriktioner som är förknippade med genomförandet av denna bana. Den övervägda metoden för banaplanering med optimering (tillval) i detta exempel genererade en helt realiserbar bana eftersom denna metod tar hänsyn till de nödvändiga begränsningarna. Men volymen av beräkningar med denna metod visar sig vara mycket stor eftersom får 8

19 lösningar kräver användning av iterativa olinjära programmeringsprocedurer. Ris. 5. Konsistenskontroll (markörer o lösning på banaplaneringsproblemet; heldragna linjer; resultat av integration). Slutsats Artikeln undersöker och analyserar med numeriska exempel två metoder för att planera banan för ett flygplans rumsliga manöver baserat på parametrisering av banan och användning av konceptet om dynamikens omvända problem. Av de givna räkneexemplen följer att den enklaste metoden är 9

20 planering som inte tar hänsyn till begränsningar av fasvariabler och kontroller kan leda till orealistiska resultat. Och trots sin attraktivitet på grund av sin enkelhet är denna metod knappast acceptabel för användning ombord (vi pratar om konventionella flygplan). För att mer tillförlitligt lösa problemet med att generera en manöverbana kan du använda mer komplexa metoder som låter dig ta hänsyn till åtminstone de viktigaste begränsningarna. Metoden för direkt lösning av det variationsproblem som föreslås av Taranenko, diskuterad i artikeln, tillåter i princip att ta hänsyn till sådana begränsningar och samtidigt utföra optimering av manövern enligt ett givet kriterium. Den största nackdelen med denna metod är den stora mängden beräkningar som orsakas av behovet av att utföra icke-linjär villkorlig optimering med iterativa procedurer. Det bör noteras att även en mycket komplex metod för att generera en bana inte är immun från att erhålla orealiserbara lösningar, så de erhållna resultaten måste analyseras och verifieras. För applikationer ombord är detta en utmaning. Bibliografisk lista. Taranenko V.T. Momdzhi V.G. Direkt variationsmetod i gränsvärdesproblem av flygdynamik. - M.: Mechanical Engineering s.. Icke-linjär dynamik och kontroll: Samling av artiklar / Ed. S.V. Emelyanova S.K. Korovina. - M.: FIZMATLIT. - 4 s.

21 3. Velishchansky M.A. Syntes av en kvasioptimal bana för ett obemannat flygfarkost flygplan// Elektronisk tidskrift “Science and Education” 3: hp://echnomag.bmsu.ru/doc/447.hml (publiceringsdatum.3). 4. Kanatnikov A.N. Konstruktion av flygplansbanor med en icke-monoton förändring i energi // Elektronisk tidskrift "Science and Education" 3 4: hp://echnomag.bmsu.ru/doc/554.hml (publiceringsdatum 4.3). 5. Kanatnikov A.N. Krischenko A.P. Tkachev S.B. Godtagbara rumsliga banor för ett obemannat flygfarkost i vertikalplanet // Elektronisk tidskrift "Science and Education" 3: hp://echnomag.bmsu.ru/doc/3774.hml (publiceringsdatum 3.).

Elektronisk tidskrift "Proceedings of MAI". Utgåva 46 www.mi.ru/science/rud/ UDC 69.7.87 Lösning på problemet med optimering av rumslig rörelsekontroll lätt flygplan baserad på Pontryagins minimiprincip V.N. Baranov,

Helikopterflyghöjdskontroll Låt oss överväga problemet med att syntetisera ett system för att kontrollera rörelsen av helikopterns masscentrum i höjdled. En helikopter som ett automatiskt styrobjekt är ett system med flera

UDC 69.78 STYRNING AV ETT RETURNERINGSFORDON MED ETT JUSTERBART MASSCENTRUM V.A. Afanasyev, V.I. Kiselev Problemet med att kontrollera den longitudinella vinkelrörelsen hos återvändande rymdfarkoster är löst

Föreläsning: Differentialekvationer av ordningen Grundläggande typer av differentialekvationer av ordningen och deras lösning Differentialekvationer är ett av de vanligaste matematiska metoderna

Ämne 4. Ekvationer för flygplanets rörelse 1 Grundläggande principer. Koordinatsystem 1.1 Flygplanets position Flygplanets position avser positionen för dess masscentrum O. Positionen för flygplanets masscentrum accepteras

Inledning Vid design av stabiliserings- och styrsystem för flygplan är ett viktigt steg att identifiera flygplanets dynamiska egenskaper som kontrollobjekt.

MINIMERING AV KONVEKTIVA OCH STRÅLNINGSVÄRMEFLÖDE NÄR VERSIONEN KOMMER IN I ATMOSFÄREN V.V. Dikusar, N.N. Olenev Computing Center uppkallad efter. A.A. Dorodnitsyn RAS, Moskva Den maximala principen i det optimala problemet

337 UDC 697:004:330 MOTIVERING AV METODER FÖR SÄRSKILD IDENTIFIERING AV EFFEKTIV MOTORTRUST OCH AERODYNAMISK DRAGKRAFTA ENLIGT FLYGTESTDATA PÅ Korsun State Scientific Research

Ritz-metoden Det finns två huvudtyper av metoder för att lösa variationsproblem. Den första typen inkluderar metoder som reducerar det ursprungliga problemet till att lösa differentialekvationer. Dessa metoder är mycket väl utvecklade

Undervisningsministeriet Ryska Federationen Statlig utbildningsinstitution för högre yrkesutbildning "SAMARA STATE TECHNICAL UNIVERSITY" Institutionen för "MEKANIK" DYNAMIK

Föreläsning 4. Lösa linjära ekvationssystem med enkla iterationer. Om systemet har en stor dimension (6 ekvationer) eller systemmatrisen är gles, är indirekta iterativa metoder mer effektiva för att lösa

VANLIGA DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN Grundbegrepp En differentialekvation är en ekvation där en okänd funktion förekommer under derivat- eller differentialtecknet.

DIFFERENTIALEKVATIONER Allmänna begrepp Differentialekvationer har många och varierande tillämpningar inom mekanik, fysik, astronomi, teknologi och andra grenar av högre matematik (t.ex.

Föreläsning fortsättning på föreläsningen METODER FÖR INTEGRAL UTLÄTTNING OCH POINT Least SQUARE METOD Låt ett rutnät specificeras på uppsättningen av punkten ANVÄNDNING AV GENERALISERADE POLYNOMIEL och ett rutnät anges på rutnätet

Teori om ytor i differentialgeometri Elementär yta Definition Ett område på ett plan kallas ett elementärt område om det är bilden av en öppen cirkel under en homeomorfism,

KAPITEL 4 System med vanliga differentialekvationer ALLMÄNNA BEGREPP OCH DEFINITIONER Grundläggande definitioner För att beskriva vissa processer och fenomen krävs ofta flera funktioner. Hitta dessa funktioner

UDC 629.78 SNABB METOD FÖR ATT BERÄKNA REFERENSBAKAN FÖR ETT FLYGPLAN Nedstigning V.I. Kiselyov En ny metod för att beräkna referensbanan för en konstgjord jordsatellit som sänks från omloppsbana har föreslagits.

6 Funktionsapproximationsmetoder. Bästa uppskattningen. De approximationsmetoder som diskuterades i förra kapitlet kräver att rutnätsfunktionsnoderna strikt tillhör den resulterande interpolanten. Om du inte kräver

Kapitel 4 Linjära ekvationssystem Föreläsning 7 Allmänna egenskaper Definition Ett normalt system (NS) av linjära differentialekvationer är ett system av formen x A () x + F () () där A() är en kvadratmatris

Modifiering av Godunov-metoden för att lösa gränsvärdesproblem för teorin om skal 77-48/597785 # 7, juli Belyaev A.V., Vinogradov Yu.I. UDC 59.7 Introduktion Ryssland, MSTU im. N.E. Bauman [e-postskyddad] [e-postskyddad]

Operations Research Definition En operation är en händelse som syftar till att uppnå ett visst mål, som möjliggör flera möjligheter och deras hantering Definition Operations Research en uppsättning matematiska

UDC 62.5 - allmänt 1 IDENTIFIERING AV DEN MATEMATISKA MODELLEN FÖR ICKE-LINJÄRA KOMPOSITA OBJEKT Maslyaev S. I. GOUVPO “Mordovian State University uppkallad efter. N. P. Ogarev”, Saransk Abstract. Problemet studeras

336 UDC 6978:3518143 SYNTES AV FLYGKONTROLLER I ATMOSFÄREN I ETT ÅTERKOMMANDE RYMDFORDON VA Afanasyev Kazan National Research Technical University uppkallad efter ANTupolev KAI Ryssland 456318

Föreläsning 9. Parallellskjutningsmetod för att lösa ett gränsvärdesproblem för ett system av vanliga differentialekvationer (ODE). Lite information från beräkningsmatematik Analys av applikationsprogramvara

Föreläsning 9 Linearisering av differentialekvationer Linjära differentialekvationer av högre ordning Homogena ekvationer egenskaper hos deras lösningar Egenskaper för lösningar av inhomogena ekvationer Definition 9 Linjär

UDC 6- ADAPTIVE CONTINUOUS PURSUIT PROBLEM AY Zoloduev St. Petersburg State University Ryssland 98 St. Petersburg St. Peterhof Botanicheskaya st. 8 E-il: sshzluev@ilru BM Sokolov St. Petersburg

UDC 531.132.1 Utveckling av en matematisk modell för rörelsen av luftattackvapen, principer för att konstruera modellen och dess mjukvaruimplementering A.D. Parfenov 1, P.A. Babichev 1, Yu.V. Fadeev 1 1 Moskovsky

APPROXIMATION AV FUNKTIONER NUMERISK DIFFERENTIATION OCH INTEGRATION Detta avsnitt behandlar problemen med att approximera funktioner med Lagrange- och Newtonpolynom med spline-interpolation

SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Reduktion till en ekvation av ordningen Ur praktisk synvinkel är linjära system med konstanta koefficienter mycket viktiga

LÖSNING AV INKELINJÄRA EKVATIONER OCH SYSTEM AV INKELINJÄRA EKVATIONER.. LÖSNING AV INKELINJÄRA EKVATIONER av formen Numerisk lösning av olinjära algebraiska eller transcendentala ekvationer. är att hitta värdena

Partiella differentialekvationer av första ordningen Vissa problem inom klassisk mekanik, kontinuummekanik, akustik, optik, hydrodynamik, strålningsöverföring reduceras till partiella differentialekvationer

Första ordningens differentialekvationer. Def. En differentialekvation av första ordningen är en ekvation som relaterar den oberoende variabeln, den önskade funktionen och dess första derivata. I själva

STATLIGA KOMMITTÉN FÖR RYSKA FEDERATIONEN FÖR HÖGRE UTBILDNING NIZHNY NOVGOROD STATE TECHNICAL UNIVERSITY uppkallad efter R.E.Alekseev DEPARTMENT OF ARTILLERY WAPEN METODLOGISKA INSTRUKTIONER för disciplinen

Elektronisk tidskrift "Proceedings of MAI". Utgåva 75 www.mai.ru/science/trudy/ UDC 629.78 Metod för att beräkna ungefär optimala banor för en rymdfarkost vid aktiva uppskjutningsplatser för satelliter

Optimering av ett flygplans dynamik enligt olika kriterier 1 UDC 517.977.5 A. A. ALEXANDROV OPTIMERING AV ETT FLYGPLANS DYNAMIK ENLIGT OLIKA KRITERIER Lösningen på problemet med optimal

INTRODUKTION Idag är finita elementmetoder (FE) en integrerad del av ingenjörsanalys och utveckling. FE-paket används inom nästan alla vetenskapsområden relaterade till analys av byggnadsstrukturer.

Föreläsning 5 5 Teorem för existensen och unikheten av en lösning på Cauchy-problemet för ett normalt ODE-system Problemformulering Cauchy-problemet för ett normalt ODE-system x = f (, x), () består av att hitta en lösning x =

ELEMENTER I VARIATIONSKalkylen Grundbegrepp Låt M vara en viss uppsättning funktioner. Den funktionella J = J (y är en variabel beroende på funktionen y (om varje funktion y(M för vissa)

Skillnadsapproximation av initialgränsvärdesproblemet för oscillationsekvationen. Explicita (korsschema) och implicita skillnadsscheman. Låt oss överväga flera alternativ för skillnadsapproximation av den linjära oscillationsekvationen:

Innehåll Introduktion. Grundläggande begrepp.... 4 1. Volterras integralekvationer... 5 läxalternativ.... 8 2. Upplösning av Volterras integralekvation. 10 läxalternativ.... 11

Ryska federationens utbildningsministerium Russian State University of Oil and Gas uppkallad efter IM Gubkin VI Ivanov Riktlinjer för att studera ämnet "DIFFERENTIALEKVATIONER" (för studenter

Differentialekvationer av högre ordning. Konev V.V. Föreläsningsöversikter. Innehåll 1. Grundläggande begrepp 1 2. Ekvationer som kan reduceras i ordning 2 3. Linjära differentialekvationer av högre ordning

Numeriska metoder för att lösa vanliga differentialekvationer Differentialekvation: F(()) - ordinär (beroende endast på) Allmän integral - beroende mellan den oberoende variabeln och den beroende

8. Genomgång av numeriska metoder för att lösa differentialekvationer för rörelse Problemformulering Att lösa rörelseekvationer är ett klassiskt mekanikproblem. I allmänhet är detta ett system av differentialekvationer

5 Potensserier 5 Potensserier: definition, konvergensregion Funktionella serier av formen (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) där, a, a, K, a ,k är vissa tal kallas potensserier Tal

ISSN 0321-1975. Mekanik av fasta ämnen. 2002. Nummer. 32 UDC 629.78, 62-50 c 2002. M.A. Velishchansky, A.P. Krischenko, S.B. Tkachev QUASI-OPTIMAL REORIENTERING AV ETT RYMDFORDON För ett rumsligt problem

UTBILDNINGSMINISTERIET OCH VETENSKAP AV RF FGBOU HPE TULA STATE UNIVERSITY Institutionen för teoretisk mekanik KURSARBETE PÅ AVSNITTET "DYNAMIK" "FORSKNING AV OSCILLATIONER AV ETT MEKANISKT SYSTEM MED EN

Laboratoriearbete Kodning av talsignaler baserade på linjär prediktion Grundprincipen för den linjära prediktionsmetoden är att det aktuella urvalet av talsignalen kan approximeras

System av differentialekvationer Inledning Precis som vanliga differentialekvationer används differentialekvationssystem för att beskriva många processer i verkligheten.

Funktioner Differentiering av funktioner 1 Regler för differentiering Eftersom derivatan av en funktion bestäms som i den reella domänen, d.v.s. i form av en gräns, då, med hjälp av denna definition och egenskaper hos gränser,

9. Antiderivata och obestämd integral 9.. Låt funktionen f() ges på intervallet I R. Funktionen F () kallas antiderivatan av funktionen f () på intervallet I om F () = f () för valfritt I, och antiderivatan

1377 UDC 51797756 NÅGRA UPPSKATTNINGAR AV NÄRHETEN TILL KVSI-OPTIMAL KONTROLL TILL OPTIMALT FÖR ETT LINJÄR HASTIGHETSPROBLEM MED FÖRDRÖJNING AA Korobov Institute of Mathematics uppkallad efter S. L. Sobolev SB RAS Ryssland,

UDC 68.5 KONSTRUKTION AV EKVIVALENTA RELÄSTYRNINGAR FÖR ONLINEÄRA SYSTEM E.A. BAIZDRENKO E.A. SHUSHLYAPIN Arbetet ägnas åt problemet med att bestämma kopplingsmomenten för begränsade reläkontroller för

Ämne 4. NUMERISK LÖSNING AV INKELINJÄRA EKVATIONER -1- Ämne 4. NUMERISK LÖSNING AV INKELINJÄRA EKVATIONER 4.0. Förklaring av problemet Problemet med att hitta rötterna till en icke-linjär ekvation av formen y=f() stöter ofta på i vetenskapliga

Laborationer 6. Approximation av funktioner Approximation (approximation) av en funktion f (x) är fyndet av en funktion g (x) (approximationsfunktion) som skulle vara nära en given. Kriterier

Styrning av den rumsliga rörelsen hos robotmanipulatorgriparen # 07, juli 015 Belov I. R. 1, Tkachev S. B. 1,* UDC: 519.71 1 Ryssland, MSTU im. N.E. Bauman Introduktion Metoder för att lösa problem med rörelsekontroll

TEORETISK MEKANIK SEMESTER 2 FÖRELÄSNING 4 GENERALISERADE KOORDINATER OCH KRAFTER JÄMFÖRTSEKVATIONER FÖR ETT SYSTEM I GENERALISERADE KOORDINATER VIRTUELLA DIFFERENTIALPOTENTIELLA KRAFTER Föreläsare: Batyaev Evgeniy Aleksandrovich

UDC 629.76 MULTICRITERIAL OPTIMERING AV NEDSTRÅKNINGEN FÖR EN ÅTERANVÄNDBAR ENSTEGSRAKET V.I. Kiselev En av de möjliga sätt lösa problemet med att bygga en enstegsraket, algoritm

Lektion 3.1. AERODYNAMISKA KRAFTER OCH Ögonblick Detta kapitel undersöker den resulterande krafteffekten av den atmosfäriska miljön på ett flygplan som rör sig i den. Begreppen aerodynamisk kraft introducerades,

Föreläsningar -6 Kapitel Ordinarie differentialekvationer Grundbegrepp Olika problem inom nationalekonomin leder till lösning av ekvationer där det okända är en funktion av en eller

1 Lagrangepolynom Låt värdena för den okända funktionen (x i = 01 x [ a b] i i i) erhållas från experiment. Problemet uppstår med ungefärlig rekonstruktion av den okända funktionen (x vid en godtycklig punkt x För

Moscow State Technical University uppkallad efter N.E. Bauman Fakulteten för grundläggande vetenskap Institutionen för matematisk modellering A.N. Kaviakovykov, A.P. Kremenko

Statistisk radiofysik och informationsteori Föreläsning 8 12. Linjära system. Spektrala och temporala tillvägagångssätt. Linjära är system eller enheter vars processer kan beskrivas med hjälp av

Föreläsning 8 Differentiering av en komplex funktion Betrakta en komplex funktion t t t f där ϕ t t t t t t f t t t t t t t t sats Låt funktionerna vara differentierbara vid någon punkt N t t t och funktionen f vara differentierbar

Mityukov V.V. Ulyanovsk högre flygskola civil luftfart Institutet, programmerare OVTI, [e-postskyddad] Universell modellering av diskret specificerade uppsättningar av kontinuerliga beroenden KEY

Numerisk integration förstås som en uppsättning numeriska metoder för att hitta värdet av en bestämd integral. När man löser tekniska problem är det ibland nödvändigt att beräkna medelvärdet

Föreläsning 8 System av differentialekvationer Allmänna begrepp Ett system med vanliga differentialekvationer av -ordningen är en uppsättning ekvationer F y y y y (F y y y y (F y y y y (Ett specialfall)

När det gäller att analysera dynamiken hos ett flygplan som flyger med en hastighet som är betydligt lägre än omloppshastigheten, kan rörelseekvationerna förenklas jämfört med det allmänna fallet med flygplansflygning; i synnerhet kan jordens rotation och sfäricitet försummas . Dessutom kommer vi att göra ett antal förenklade antaganden.

endast kvasi-statiskt, för det aktuella värdet av hastighetshuvudet.

När vi analyserar flygplanets stabilitet och styrbarhet kommer vi att använda följande rektangulära högerhänta koordinataxlar.

Normalt terrestra koordinatsystem OXgYgZg. Detta system av koordinataxlar har en konstant orientering i förhållande till jorden. Koordinaternas ursprung sammanfaller med flygplanets massacentrum (CM). 0Xg- och 0Zg-axlarna ligger i horisontalplanet. Deras orientering kan tas godtyckligt, beroende på målen för problemet som ska lösas. När man löser navigeringsproblem är 0Xg-axeln ofta riktad mot norr parallellt med tangenten till meridianen, och 0Zg-axeln riktas mot öst. För att analysera stabiliteten och styrbarheten hos ett flygplan är det lämpligt att ta orienteringsriktningen för 0Xg-axeln så att den sammanfaller i riktning med projektionen av hastighetsvektorn på horisontalplanet vid det första ögonblicket av rörelsestudien. I samtliga fall är 0Yg-axeln riktad uppåt längs den lokala vertikalen, och 0Zg-axeln ligger i horisontalplanet och bildar tillsammans med OXg- och 0Yg-axlarna ett högerhänt system av koordinataxlar (Fig. 1.1). XgOYg-planet kallas det lokala vertikala planet.

Tillhörande koordinatsystem OXYZ. Koordinaternas ursprung ligger i flygplanets massacentrum. OX-axeln ligger i symmetriplanet och är riktad längs vingkordlinjen (eller parallellt med någon annan riktning som är fixerad i förhållande till flygplanet) mot flygplanets nos. 0Y-axeln ligger i flygplanets symmetriplan och är riktad uppåt (i horisontell flygning), 0Z-axeln kompletterar systemet till höger.

Angreppsvinkeln a är vinkeln mellan flygplanets längdaxel och projektionen av flyghastigheten på OXY-planet. Vinkeln är positiv om projektionen av flygplanets flyghastighet på 0Y-axeln är negativ.

Glidvinkeln p är vinkeln mellan flygplanets flyghastighet och OXY-planet för det tillhörande koordinatsystemet. Vinkeln är positiv om projektionen av flyghastigheten på den tvärgående axeln är positiv.

Positionen för det tillhörande koordinataxelsystemet OXYZ i förhållande till det normala jordiska koordinatsystemet OXeYgZg kan helt bestämmas av tre vinklar: φ, #, y, kallade vinklar. Euler. Rotera det anslutna systemet sekventiellt

koordinater till var och en av Euler-vinklarna, kan man komma fram till vilken vinkelposition som helst för det associerade systemet i förhållande till det normala koordinatsystemets axlar.

När man studerar flygplansdynamik används följande begrepp för Euler-vinklar.

Girningsvinkel r]) är vinkeln mellan någon initial riktning (till exempel 0Xg-axeln för det normala koordinatsystemet) och projektionen av flygplanets tillhörande axel på horisontalplanet. Vinkeln är positiv om OX-axeln är i linje med projektionen av den längsgående axeln på horisontalplanet genom att vrida medurs runt OYg-axeln.

Stigningsvinkel # är vinkeln mellan den längsgående axeln för flygplanet OX och det lokala horisontalplanet OXgZg. Vinkeln är positiv om den längsgående axeln är över horisonten.

Vridningsvinkeln y är vinkeln mellan det lokala vertikalplanet som passerar genom OX y-axeln och den tillhörande 0Y-axeln för flygplanet. Vinkeln är positiv om flygplanets O K-axel är inriktad med det lokala vertikalplanet genom att vrida medurs runt OX-axeln. Euler-vinklar kan erhållas genom successiva rotationer av relaterade axlar kring normalaxlarna. Vi kommer att anta att de normala och relaterade koordinatsystemen kombineras i början. Den första rotationen av systemet med anslutna axlar kommer att göras i förhållande till O-axeln med girvinkeln r]; (f sammanfaller med OYgX-axeln i fig. 1.2)); den andra rotationen är i förhållande till 0ZX-axeln i en vinkel Ф ('& sammanfaller med OZJ-axeln och slutligen görs den tredje rotationen i förhållande till OX-axeln i en vinkel y (y sammanfaller med OX-axeln). vektorerna Ф, Ф, у, som är komponenterna

vektor för flygplanets vinkelhastighet i förhållande till det normala koordinatsystemet, på de relaterade axlarna, får vi ekvationer för förhållandet mellan Euler-vinklarna och vinkelhastigheterna för rotation av de relaterade axlarna:

co* = Y + sin *&;

o)^ = i)COS’&cosY+ ftsiny; (1.1)

co2 = φ cos y - φ cos φ sin y.

När man härleder rörelseekvationerna för ett flygplans masscentrum, är det nödvändigt att beakta vektorekvationen för förändringen i momentum

-^- + o>xV)=# + G, (1,2)

där ω är vektorn för rotationshastigheten för axlarna associerade med flygplanet;

R är huvudvektorn för yttre krafter, i det allmänna fallet aerodynamisk

logiska krafter och dragkraft; G är vektorn för gravitationskrafter.

Från ekvation (1.2) får vi ett system av rörelseekvationer för flygplanet CM i projektioner på relaterade axlar:

t (gZ?~ + °hVx ~ °ixVz) = Ry + G!!’ (1 -3)

t iy’dt “b U - = Rz + Gz>

där Vx, Vy, Vz är projektioner av hastigheten V; Rx, Rz - projektioner

resulterande krafter (aerodynamiska krafter och dragkraft); Gxi Gyy Gz - projektioner av gravitation på relaterade axlar.

Projektioner av gravitation på relaterade axlar bestäms med hjälp av riktningscosinus (tabell 1.1) och har formen:

Gy = - G cos ft cos y; (1,4)

GZ = G cos d sin y.

När man flyger i en atmosfär som är stationär i förhållande till jorden är projektioner av flyghastighet relaterade till anfalls- och glidvinklarna och storleken på hastigheten (V) genom relationerna

Vx = V cos a cos p;

Vу = - V sin a cos р;

Relaterad

Uttryck för projektionerna av de resulterande krafterna Rx, Rin Rz har följande form:

Rx = - cxqS - f Р cos ([>;

Rty = cyqS p sin (1,6)

där cx, cy, сг - koefficienter för projektioner av aerodynamiska krafter på det tillhörande koordinatsystemets axlar; P är antalet motorer (vanligtvis P = / (U, #)); Fn - motorstoppsvinkel (ff > 0, när projektionen av dragkraftsvektorn på flygplanets 0Y-axel är positiv). Vidare tar vi överallt = 0. För att bestämma densiteten p (H) som ingår i uttrycket för hastighetstrycket q, är det nödvändigt att integrera ekvationen för höjden

Vx sin ft+ Vy cos ft cos y - Vz cos ft sin y. (1,7)

Beroendet p (H) kan hittas från tabeller över standardatmosfären eller från den ungefärliga formeln

där för flyghöjder I s 10 000 m K f 10~4. För att erhålla ett slutet system av ekvationer av flygplanets rörelse i relaterade axlar måste ekvationerna (13) kompletteras med kinematisk

relationer som gör det möjligt att bestämma flygplanets orienteringsvinklar y, ft, r]1 och kan erhållas från ekvationerna (1.1):

■ф = Кcos У - sin V):

■fr= “y sin y + cos Vi (1-8)

Y= co* - tan ft (©у cos y - sinY),

och vinkelhastigheterna cov, co, coz bestäms från flygplanets rörelseekvationer i förhållande till CM. Ett flygplans rörelseekvationer i förhållande till masscentrum kan erhållas från lagen om förändring i rörelsemängd

-^-=MR-ZxK.(1,9)

Denna vektorekvation använder följande notation: ->■ ->

K är momentum för flygplanet; MR är huvudmomentet för yttre krafter som verkar på flygplanet.

Projektioner av vinkelmomentvektorn K på de rörliga axlarna skrivs vanligtvis i följande form:

Kt = I x^X? xy®y I XZ^ZI

К, Iу^х Н[ IУ^У Iyz^zi (1.10)

K7. - IXZ^X Iyz^y Iz®Z*

Ekvationer (1.10) kan förenklas för det vanligaste fallet att analysera dynamiken hos ett flygplan som har ett symmetriplan. I det här fallet är 1хг = Iyz - 0. Från ekvation (1.9), med hjälp av relationer (1.10), får vi ett ekvationssystem för flygplanets rörelse i förhållande till CM:

h -jf — — hy (“4 — ©Ї) + Uy — !*) = MRZ-

Om vi ​​tar huvudtröghetsaxlarna som SY OXYZ, då är 1xy = 0. I detta avseende kommer vi att utföra ytterligare analys av flygplanets dynamik med hjälp av flygplanets huvudtröghetsaxlar som OXYZ-axlar.

Momenten som ingår i den högra sidan av ekvationerna (1.11) är summan av aerodynamiska moment och moment från motorns dragkraft. Aerodynamiska moment skrivs i formen

där tХ1 ty, mz är de dimensionslösa koefficienterna för aerodynamiska moment.

Koefficienterna för aerodynamiska krafter och moment uttrycks i allmänhet i form av funktionella beroenden av kinematiska parametrar för rörelse och likhetsparametrar, beroende på flygläget:

y, g mXt = F(a, p, a, P, coXJ coyj co2, be, f, bn, M, Re). (1,12)

Siffrorna M och Re kännetecknar det initiala flygläget, därför, när man analyserar stabilitet eller kontrollerade rörelser, kan dessa parametrar tas som konstanta värden. I det allmänna fallet med rörelse kommer den högra sidan av var och en av kraftekvationerna och momenten att innehålla en ganska komplex funktion, som i regel bestäms på basis av approximation av experimentella data.

Fikon. 1.3 visar reglerna för tecken för huvudparametrarna för flygplanets rörelse, såväl som för storleken på avvikelserna för kontrollerna och kontrollspakarna.

För små anfallsvinklar och sidglidning används vanligtvis representationen av aerodynamiska koefficienter i form av Taylor-seriens expansioner i termer av rörelseparametrar, varvid endast de första termerna av denna expansion bevaras. Denna matematiska modell av aerodynamiska krafter och moment för små anfallsvinklar stämmer ganska väl överens med flygövningar och experiment i vindtunnlar. Baserat på material från arbeten på flygplans aerodynamik för olika ändamål kommer vi att acceptera följande form för att representera koefficienterna för aerodynamiska krafter och moment som en funktion av rörelseparametrar och avböjningsvinklar för kontroller:

сх ^ схо 4~ сх (°0"

U ^ SU0 4" s^ua 4" S!/F;

сг = cfp + СгН6„;

th - itixi|5 - f - ■b thxha>x-(- th -f - /l* (I -|- - J - L2LP6,!

o (0.- (0^- r b b„

tu = myfi + tu ho)x + tu Uyy + r + ga/be + tu bn;

tg = tg(a) + tg zwz/i? f.

När man löser specifika problem med flygdynamik kan den allmänna formen för att representera aerodynamiska krafter och moment förenklas. För små anfallsvinklar är många aerodynamiska koefficienter för sidorörelse konstanta, och det longitudinella momentet kan representeras som

mz(a) = mzo + m£a,

där mz0 ​​är den longitudinella momentkoefficienten vid a = 0.

Komponenterna som ingår i uttrycket (1.13), proportionella mot vinklarna α, hittas vanligtvis från statiska tester av modeller i vindtunnlar eller genom beräkning. Att hitta

Research Institute of Derivatives, twx (y) krävs

dynamisk testning av modeller. Men i sådana tester sker vanligtvis en samtidig förändring av vinkelhastigheter och anfalls- och glidningsvinklar, och därför bestäms följande kvantiteter samtidigt under mätningar och bearbetning:

CO - CO- ,

tg* = t2g -mz;

0), R. Yuu I århundradet.

mx* = mx + mx sin a; tu* = Shuh tu sin a.

CO.. (O.. ft CO-. CO.. ft

ty% = t,/ -|- tiiy cos a; tx% = txy + tx cos a.

Arbetet visar att för att analysera dynamiken i ett flygplan,

speciellt vid låga anfallsvinklar är det tillåtet att representera ögonblicket

com i form av relationer (1.13), där derivatorna mS och m$

taget lika med noll, och under uttrycken m®x, etc.

kvantiteterna m“j, m™у förstås [se (1.14)], bestämd experimentellt. Låt oss visa att detta är acceptabelt genom att begränsa vår övervägande till problemen med att analysera flygningar med små anfallsvinklar och sidglidning vid konstant flyghastighet. Genom att ersätta uttryck för hastigheterna Vх, Vy, Vz (1.5) i ekvationerna (1.3) och göra de nödvändiga transformationerna får vi

= % COS a + coA. sina - f -^r )